两动一定最小值问题如何做辅助线学科网10篇两动一定最小值问题如何做辅助线学科网 初中几何最值问题（全面经典版） 含解析 一、将军饮马问题（过河问题） 二、点到直线类（一定点与连续动点） 三、转移边构造 11..转移下面是小编为大家整理的两动一定最小值问题如何做辅助线学科网10篇,供大家参考。
篇一：两动一定最小值问题如何做辅助线学科网
几何最值问题 （全面经典版）含解析
一、 将军饮马问题（过河问题）
二、 点到直线类（一定点 与 连续动点）
三、转移边构造
1 1. . 转移边构全等 2 2. .
转移边构造平行四边形 3.
转移边构造圆（多见旋转与折叠问题）
四、 利用定值（ 直角三角形斜边中线等于斜边一半 ）
五、三边和最小问题
六、利用对称、旋转构建特殊角（3 30 0 、4 45 5 、6 60 0 、9 90 0 ）
七、胡不归 模型 问题
八、阿氏圆 模型问题
九、转化函数求最值
十、特殊平行四边形中的最值
十一、圆中的最值问题
一、 将军饮马问题（ 过河问题 ）
例 例 1 ．如图，在△ABC 中，AB＝AC，BC＝10，S △ ABC ＝60，AD⊥BC 于点 D，EF 垂直平分 AB，交 AB 于点E、AC 于点 F，在 EF 上确定一点 P，使 PB+PD 最小，则这个最小值为（
）
A．10 B．11 C．12 D．13 例 例 2 ．在平面直角坐标系中，长为 2 的线段 CD（点 D 在点 C 右侧）在 x 轴上移动，A（0，2），B（0，4），连接 AC，BD，则 AC+BD 的最小值为（
）
A．2
B．2
C．6
D．3
二、 点到直线类 （一定点连续动点）
例 例 3 ．如图，△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，BD 是∠ABC 的平分线．若 P、Q 分别是 BD 和AB 上的动点，则 PA+PQ 的最小值是（
）
A．
B．4 C．
D．5
三 、 转移边构造 1. 转移边构全等 例 例 4. 如图，边长为 6 的等边三角形 ABC 中，E 是对称轴 AD 上的一个动点，连接 EC，将线段 EC 绕点 C逆时针旋转 60°得到 FC，连接 DF．（则在点 E 运动过程中，DF 的最小值是
．
例 例 5 ．如图，等边△ABC 中，AD 为 BC 边上的高，点 M、N 分别在 AD、AC 上，且 AM＝CN，连 BM、BN，
当 BM+BN 最小时，∠MBN＝
度．
2. 转移边构造平行四边形
例 例 6. 如图，O 为矩形 ABCD 对角线 AC，BD 的交点，AB＝6，M，N 是直线 BC 上的动点，且 MN＝2，则OM+ON 的最小值是
．
例 例 7 ．如图，在等边△ABC 和等边△DEF 中，FD 在直线 AC 上，BC＝3DE＝3，连接 BD，BE，则当 BD+BE最小时 D 位于何处，在下图在标记出来，并简要说明。
3. 转移边构造 圆（多见旋转与折叠问题）
例 例 8 ．如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠A＝60°，M 是 AD 边的中点，N 是 AB 边上的一动点，将△AMN 沿 MN 所在直线翻折得到△A′MN，连接 A′C，则 A′C 长度的最小值是
．
变式 1 1 、如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠A＝60°，M 是 AD 边的中点，N 是 AB 边上一动点，将△AMN 沿 MN 所在的直线翻折得到△A′MN，连接 A′C，则 A′B 长度的最小值是
．
变式 2 2 、如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点 F 在边 AC 上，并且 CF＝2，点 E 为边 BC上的动点，将△CEF 沿直线 EF 翻折，点 C 落在点 P 处，则点 P 到边 AB 距离的最小值是（
）
A．3.2 B．2 C．1.2 D．1 例 例 9 9 、如图，在正方形 ABCD 中，AB＝a（a 为常数），点 E，F 分别是 BC，CD 上的两个动点，AE 与 BF交于点 P，若 BE＝CF，连接 CP，当 CP 有最小值为 4 时，则 a 值为
．
变式 1 1 、如图，已知等边△ABC 的边长为 2 ，D，E 分别为 BC，AC 上的两个动点，且 AE＝CD，连接
BE，AD 交于点 P，则 CP 的最小值是
．
例 例 10、 、如图，已知正方形 ABCD 的边长是 4，点 E 是 AB 边上一动点，连接 CE，过点 B 作 BG⊥CE 于点 G，点 P 是 AB 边上另一动点，则 PD+PG 的最小值为
．
式 变式 1 、如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2 ，点 O 为正方形的中心，点 G 为 AB 边上一动点，直线 GO交 CD 于点 H，过点 D 作 DE⊥GO，垂足为点 E，连接 CE，则 CE 的最小值为（
）
A．2 B．4﹣
C．
D． ﹣1
四 、直角三角形斜边中线等于斜边一半
例 例 11 ．如图，在 Rt△ABC 中，∠CAB＝90°，AB＝8，AC＝3，两顶点 A、B 分别在平面直角坐标系的 y 轴、x 轴的正半轴上滑动，点 C 在第一象限内，连接 OC，则 OC 的长的最大值为（
）
A．8 B．9 C．4+2
D．4+3
式 变式 1 ．如图，已知菱形 ABCD 中，BC＝10，∠BCD＝60°两顶点 B、D 分别在平面直角坐标系的 y 轴、x轴的正半轴上滑动，连接 OA，则 OA 的长的最小值是
．
例 例 12 ．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E 分别是 AC、BC 上的一点，且 DE＝3，若以 DE 为直径的圆与斜边 AB 相交于 M、N，则 MN 的最大值为
．
五 、三边和最小 问题
例 例 13 、如图，在四边形 ABCD 中，∠BAD＝110°，∠B＝∠D＝90°．在 BC，CD 上分别找一点 M，N，使△AMN 周长最小，则∠AMN+∠ANM 的度数为 140° ．
式 变式 1 、如图，∠AOB＝20°，点 M、N 分别是边 OA、OB 上的定点，点 P、Q 分别是边 OB、OA 上的动点，记∠MPQ＝α，∠PQN＝β，当 MP+PQ+QN 最小时，则 β﹣α 的值为（
）
A．10° B．20° C．40° D．60° 六 、利用对称、旋转构建特殊角（3 30 0 、4 45 5 、6 60 0 ）
例 例 14 ．如图，AD，BE 在 AB 的同侧，AD＝2，BE＝2，AB＝4，点 C 为 AB 的中点，若∠DCE＝120°，则DE 的最大值是
．
例 例 15 ．在△ABC 中，AB＝4，∠A＝30°，AC＝3，点 O 是△ABC 内一点，则点 O 到△ABC 三个顶点的距离和的最小值是
．
式 变式 1 ． 点 O 是等边△ABC 内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，，则∠AOB＝
．
七、胡不归问题 （ PA+ + kPB B ：P P 是动点，A A 、B B 是定点，P P 在直线上运动）
背景补充：
从前有一小伙子外出务工，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．小伙子略懂数学常识，考虑到“两点之间线段最短”的知识，就走布满沙石的路直线路径，而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…” 这个问题引起了人们的思索，小伙子能否节省路上时间提前到家？如果可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是流传千百年的“胡不归问题．抽象出这个故事里的问题，我们会得到一个模型，就如下图所示：
归纳一下运用胡不归的解题套路：分三步
1.化成模型 DB+K ·AD（K<1）。
2.在 AD 的一侧，在 BD 的异侧，构造 α,使得 sin α=k,得到一条射线 AM，以动点所在的线段为斜边。
3.过 B 点作垂直于 AM 的垂线即可。
例 例 1 16 6 、 如图，△ABC 中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC 于点 E，D 是线段 BE 上的一个动点，则 CD+BD 的最小值是
．
习 练习 1 ．如图，▱ABCD 中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P 为边 CD 上的一动点，则 PB+ PD 的最小值等于
．
习 练习 2 ．如图，▱ABCD 中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P 为边 CD 上的一动点，则 2PB+PD 的最小值等于
．
例 例 17 、 如图，P 为正方形 ABCD 对角线 BD 上一动点，若 AB＝2，AP+BP+CP 的最小值是多少？
练习 1 1 、
八、阿氏圆（ PA+kPB：P 是动点，A、B 是定点，P 在圆上运动）
解题套路：
构建共角共边的相似三角形（写 A A 型）
例 例 18 ．如图，在扇形 OAB 中，∠AOB＝90°，OA＝12，点 C 在 OA 上，AC＝4，点 D 为 OB 的中点，点 E为弧 AB 上的动点，OE 与 CD 的交点为 F．（1）当四边形 ODEC 的面积 S 最大时，求 EF； （2）求 CE+2DE 的最小值．
九、 转化 函数求最值
例 例 1 19 9. 如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝6，当直角三角板 MPN 的直角顶点 P 在 BC 边上移动时，直
角边 MP 始终经过点 A，设直角三角板的另一直角边 PN 与边 CD 相交于点 Q．则 CQ 的最大值为
．
十 、 特殊 平行四边形中的最值
1． ．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝3，BC＝4，P 是 AB 上动点，PQ 平行于 BC 交 CD 于 Q．M 是 AD 上动点，MN 平行于 AB 交 BC 于 N．则 PM+NQ 的最小值为
．
2．如图，在矩形 ABCD 中，AD＝4 ，∠DAC＝30°，点 P、E 分别在 AC、AD 上，则 PE+PD 的最小值是
．
3．如图，矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝6，点 P 是矩形 ABCD 内一动点，且 S △ PAB ＝ S △ PCD ，则 PC+PD的最小值为
．
4 ．如图，菱形 ABCD 的边长为 3，∠BAD＝60°，点 E、F 在对角线 AC 上（点 E 在点 F 的左侧），且 EF＝1，则 DE+BF 最小值为
5．如图，M、N 是正方形 ABCD 的边 CD 上的两个动点，满足 AM＝BN，连接 AC 交 BN 于点 E，连接 DE
交 AM 于点 F，连接 CF，若正方形的边长为 6，则线段 CF 的最小值是
．
6．如图，在菱形 ABCD 中，∠ABC＝60°，AB＝1，点 P 是这个菱形内部或边上的一点，若以点 P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则 P、D（P、D 两点不重合）两点间的最短距离为多少？（
）
A．1
B．
C．2
D．
7．如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB＝3，BC＝4，点 P 是边 BC 上一动点（点 P 不与点 B，C 重合），连接AP，作点 B 关于直线 AP 的对称点 M，连接 MP，作∠MPC 的角平分线交边 CD 于点 N．则线段 MN 的最小值为
．
十一 、圆中的最值问题
1．如图，⊙O 的半径为 2，点 O 到直线 l 的距离为 3，点 P 是直线 l 上的一个动点，PQ 切⊙O 于点 Q，则PQ 的最小值为（
）
A．
B．
C．3 D．5
2．如图，⊙O 的半径为 2，AB、CD 是互相垂直的两条直径，点 P 是⊙O 上任意一点，过点 P 作 PM⊥AB于 M，PN⊥CD 于 N，点 Q 是 MN 的中点，当点 P 沿着圆周从点 D 逆时针方向运动到点 C 的过程中，当∠
QCN 度数取最大值时，线段 CQ 的长为
．
3．如图，在⊙O 上有定点 C 和动点 P，位于直径 AB 的两侧，过点 C 作 CP 的垂线与 PB 的延长线交于点 Q．已知⊙O 的直径为 5，tan∠ABC＝ ，则 CQ 的最大值为
．
4．如图，定长弦 CD 在以 AB 为直径的⊙O 上滑动（点 C、D 与点 A、B 不重合），M 是 CD 的中点，过点C 作 CP⊥AB 于点 P，若 CD＝3，AB＝8，PM＝l，则 l 的最大值是 4 ．
5．如图，⊙O 半径为 3，Rt△ABC 的顶点 A，B 在⊙O 上，∠B＝90°，点 C 在⊙O 内，且 tanA＝ ，当点A 在圆上运动时，则 OC 的最小值为______．
6．如图，△ABC 中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝2，D 是线段 BC 上的一个动点，以 AD 为直径画
⊙O 分别交 AB、AC 于 E、F，连接 EF，则线段 EF 长度的最小值为
．
7．在△ABC 中，若 O 为 BC 边的中点，则必有：AB 2 +AC 2 ＝2AO 2 +2BO 2 成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形 DEFG 中，已知 DE＝4，EF＝3，点 P 在以 DE 为直径的半圆上运动，则 PF 2 +PG 2 的最小值为
．
8．如图 1，在△ABC 中，AB＝AC＝5，以 AB 为直径作⊙O，分别交 AC，BC 于点 E，F，连接 EF，OE． （1）求证：∠OEF＝∠ABC； （2）如图 2，连接 BE，若点 D 是线段 BE 上的一个动点，且 tan∠CFE＝2，求 CD+BD 的最小值．
9．如图，在△ACE 中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O 经过点 C，且圆的直径 AB 在线段 AE 上． （1）证明：CE 是⊙O 的切线； （2）设点 D 是线段 AC 上任意一点（不含端点），连接 OD，当 AB＝8 时，求 CD+OD 的最小值．
10．问题提出：（1）如图①，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则 tanA 的值是
． （2）如图②，在正方形 ABCD 中，AB＝5，点 E 是平面上一动点，且 BE＝2，连接 CE，在 CE 上方作正方形 EFGC，求线段 CF 的最大值． 问题解决：（3）如图③，⊙O 半径为 6，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，点 A，B 在⊙O 上，点 C 在⊙O内，且 tanA＝ ．当点 A 在圆上运动时，求线段 OC 的最小值．
初中几何最值问题 答案与解析
一、 将军饮马问题（ 过河问题 ）
例 例 1 ．如图，在△ABC 中，AB＝AC，BC＝10，S △ ABC ＝60，AD⊥BC 于点 D，EF 垂直平分 AB，交 AB 于点E、AC 于点 F，在 EF 上确定一点 P，使 PB+PD 最小，则这个最小值为（
）
A．10 B．11 C．12 D．13 【解】∵AB＝AC，BC＝10，S △ ABC ＝60，AD⊥BC 于点 D，∴AD＝12， ∵EF 垂直平分 AB，∴点 A，B 关于执行 EF 对称，∴AD 的长度＝PB+PD 的最小值，即 PB+PD 的最小值为 12，故选：C． 例 例 2 ．在平面直角坐标系中，长为 2 的线段 CD（点 D 在点 C 右侧）在 x 轴上移动，A（0，2），B（0，4），连接 AC，BD，则 AC+BD 的最小值为（
）
A．2
B．2
C．6
D．3
【解】把 B 向左移动 2 个单位得到 N，∴AC+BD 的最小值为 2 ．故选：B． 二、 点到直线类 （一定点连续动点）
例 例 3 ．如图，△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，BD 是∠ABC 的平分线．若 P、Q 分别是 BD 和AB 上的动点，则 PA+PQ 的最小值是（ C ）
A．
B．4 C．
D．5 【解】如图，作点 Q 关于直线 BD 的对称点 Q′，作 AM⊥BC 于 M，∵PA+PQ＝PA+PQ′， ∴根据垂线段最短可知，当 A，P，Q′共线，且与 AM 重合时，PA+PQ 的值最小，最小值＝线段 AM 的长．∵△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，∴AC＝8，∴AM＝ ＝ ＝ ， 三 、 转移边构造 1. 转移边构全等 例 例 4. 如图，边长为 6 的等边三角形 ABC 中，E 是对称轴 AD 上的一个动点，连接 EC，将线段 EC 绕点 C逆时针旋转 60°得到 FC，连接 DF．（则在点 E 运动过程中，DF 的最小值是 1.5 ．
【解】如图，取 AC 的中点 G，连接 EG，∵旋转角为 60°，∴∠ECD+∠DCF＝60°，又∵∠ECD+∠GCE＝∠ACB＝60°，∴∠DCF＝∠GCE，∵AD 是等边△ABC 的对称轴，∴CD＝ BC，∴CD＝CG，又∵CE旋转到 CF，∴CE＝CF，在△DCF 和△GCE 中， ，∴△DCF≌△GCE（SAS），∴DF＝EG，根据垂线段最短，EG⊥AD 时，EG 最短，即 DF 最短，此时∵∠CAD＝ ×60°＝30°，AG＝ AC＝ ×6＝3，∴EG＝ AG＝ ×3＝1.5，∴DF＝1.5．故答案为：1.5．
例 例 5 ．如图，等边△ABC 中，AD 为 BC 边上的高，点 M、N 分别在 AD、AC 上，且 AM＝CN，连 BM、BN，当 BM+BN 最小时，∠MBN＝ 30 度．
【解】如图 1 中，作 CH⊥BC，使得 CH＝BC，连接 NH，BH．∵△ABC 是等边三角形，AD⊥BC，CH⊥BC，∴∠DAC＝∠DAB＝30°，AD∥CH，∴∠HCN＝∠CAD＝∠BAM＝30°， ∵AM＝CN，AB＝BC＝CH，∴△ABM≌△CHN（SAS），∴BM＝HN，∵BN+HN≥BH， ∴B，N，H 共线时，BM+BN＝NH+BN 的值最小， 如图 2 中，当 B，N，H 共线时，∵△ABM≌△CHN，∴∠ABM＝∠CHB＝∠CBH＝45°， ∵∠ABD＝60°，∴∠DBM＝15°，∴∠MBN＝45°﹣15°＝30°，∴当 BM+BN 的值最小时，∠MBN＝30°，故答案为 30． 2. 转移边构造平行四边形
例 例 6. 如图，O 为矩形 ABCD 对角线 AC，BD 的交点，AB＝6，M，N 是直线 BC 上的动点，且 MN＝2，则OM+ON 的最小值是 2
．
【分析】利用轴对称变换以及平移变换，作辅助线构造平行四边形，依据平行四边形的性质以及轴对称的性质，可得当 O，N，Q 在同一直线上时，OM+ON 的最小值等于 OQ 长，利用勾股定理进行计算，即可得到 OQ 的长，进而得出 OM+ON 的最小值． 【解】如图所示，作点 O 关于 BC 的对称点 P，连接 PM，将 MP 沿着 MN 的方向平移 MN 长的距离，得到 NQ，连接 PQ，则四边形 MNQP 是平行四边形，∴MN＝PQ＝2，PM＝NQ＝MO，∴OM+ON＝QN+ON， 当 O，N，Q 在...
篇二：两动一定最小值问题如何做辅助线学科网
/p>【例 1】
⑴如图，在 l 上找一点 P，使 PA＋PB 最小。
⑵如图，在 l 上找一点 P，使 PA＋PB 最小。
⑶如图，点 P 在锐角∠AOB 的内部，在 OB 边上求作一点 D，在 OA 边上求作一点 C，使△PCD 的周长最小。
⑷如图，点 C、D 在锐角∠AOB 的内部，在 OB 边上求作一点 F，在 OA 边上求作一点 E，使四边形 CEFD 周长最小。
长度(距离)最值问题：
点——点 线——线 点——线 两点一线 两线一点 两线两点
【例 2】
如图，∠AOB＝30°，点 P 位于∠AOB 内，OP＝3，点 M、N 分别是射线 OA、OB 上的动点，求△PMN 的最小周长。
轴对称
2 【例 3】
如图，设正△ABC 的边长为 2，M 是 AB 边上的中点，P 是 BC 边上的任意一点，PA＋PM的最大值和最小值分别记为 s 和 t。
求 s 2 －t 2 的值。
【例 4】
如图：点 M 是四边形 ABCD 的 BC 边的中点， 120 AMD ， °
证明：12AB BC CD AD ≥
【例 5】
已知△ABC 中，∠ABC＝45°，BD 为 AC 上的高，其中 AD＝2，CD＝3，求 BD 的长。
在线测试题 温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节。
1．在下列命题中：
①两个全等三角形是轴对称图形 ②两个关于直线 l 对称的图形是全等形 ③等边三角形是轴对称图形 ④线段有三条对称轴 正确命题的个数是(
) A．1
B．2 C．3
D．4
2．如图，点 A 和点 B 不在直线 l 上，它们到直线 l 的距离都等于 2，且 AB＝4，又已知点 P在直线 l 上，则 PA＋PB 的最小值为(
) lA B A．4
B．5 C． 4 2
D． 4 3
3 3．如图，点 A 和点 B 不在直线 l 上，它们到直线 l 的距离都等于 1，又已知点 P 在直线 l上，且 PA＋PB 的最小值为 4，则 AB＝(
) lA B A．3
B．2 C． 3 2
D． 2 3
4．如图，点 P 在锐角∠AOB 的内部，OP＝6，且 P 到 OB、OA 边的距离都等于 3，在 OB边上求作一点 D，在 OA 边上求作一点 C，使△PCD 的周长最小值为(
) PO BA A．6
B．7 C． 5 3
D． 6 3
5．某供电部门准备在输电主干线 l 上连接一个分支线路同时向新落成的 A、B 两个居民小区送电，分支点为 M，已知居民小区 A、B 到主干线 l 的距离分别为12 AA 千米，12 BB 千米，且1 14 AB 千米．居民小区 A、B 在主干线 l 的两旁如图所示，则最短线路的长度是(
)千米。
A．5
B．4 C． 5 3
D． 4 2
6．如图，有一个边长为 3m 的正方形 ABCD，点 M、N 分别为边 AD 上两个三等分点，一只蚂蚁想从点 N 到点 M，且路过边 CD、BC，则最短路线为(
) ABC DMN A．4
B．5 C． 3 5
D．6
7．如图， 60 AOB ∠ ，点 P 位于 AOB ∠ 内， 3 OP ，点 M 、 N 分别是射线 OA 、 OB 上的动点，则 PMN △ 的最小周长为(
) NMPBA O A． 2 3
B． 3 2 C． 3 3
D． 4 2
4 8．如图，EFGH 是一个矩形的台球台面，有黑白两球分别位于 A，B 两点位置上，撞击黑球 A，使 A 先碰撞台边 EF 反弹后两击中白球 B，下列方法正确的是(
)
A．HGE FBA
B．HGE FBA C．HGE FB′BA
D．HGE FBA
9．如图， A ， B 是公路 l ( l 为东西走向)两旁的两个村庄， A 村到公路 l 的距离 1km AC ，B 村到公路 l 的距离 2km BD ， B 村在 A 村的南偏东 45 方向上，则 A ， B 两村之间的距离为(
)
A． 2 3
B． 3 2 C． 3 3
D． 4 2
10．如图，P 是 BAC 平分线 AD 上一点，P 与 A 不重合， AC AB .则下列结论正确的是(
) AC BDP A． PC PB AC AB
B． PC PB AC AB
C． PC PB AC AB
D．无法确定
篇三：两动一定最小值问题如何做辅助线学科网
似三角形（模型-辅助线）一、本章概述 相似作为几何学习的一个重要内容，大量的出现在中考试卷中，它与勾股定理和锐角三角形函数并列为初中几何计算三大工具。本章重点讲解相似的几个模型，如 A 字形，8 字形，一线三等角等模型。
二、知识回顾 1、图形的相似 （1）相似图形：形状相同的图形叫做相似图形 （2）相似多边形：对应角相等，对应边的比相等。相似多边形对应边的比为相似比。
2.相似三角形 （3）平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。
（4）相似三角形的判定 ①预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等。
②判定定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
③传递性定理：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
（5）相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等，对应边成比例 ②相似三角形的周长的比等于相似比；对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。
3.位似 （6）多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。
（7）在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或-k。
1.相似基本模型 一、本节概述 本节重点讲解“A”字形和“8”字形的应用和构造方法，这两个模型是相似三角形中最为基础的两个模型，但应用十分广泛。
1.“A”字形相似
2.
”8”字形相似
二、典例精析 能力目标：
1.熟练掌握正 A 型相似和正 8 型相似模型：
2.借助平行线构造正 A 型相似和正 8 型相似模型解决相关问题。
【例 1】已知：图下图，AD 是 的中线。
（1）若 E 为 AD 的中点，射线 CE 交 AB 于 F，则
（2）若 E 为 AD 上一点，且 ,射线 CE 交 AB 于 F，则
思维探究：
方法一：
通过平行线构造相似 解析：过 A 点作 AP//BC 交 CF 于点 P,
“8”字模型 APCD
方法二：过 A 作 AH//CF 交 BC 延长线于 H，则
方法三：作 DK//CF 交 AB 于 K, 则
方法四：作 DM//AB 交 CF 于 M， 则 AF=DM,
( 2 ) 构造平行线，通过线段比解决问题 作 BP//AD 交 CF 于点 P,
大家可尝试过其他点作平行线，解答中用了 A 点和 D 点，其它的同学们自己尝试。
【例 2】如图，BD、CE 为△ABC 的高，求证：∠AED=∠ACB.
【分析】求证相等的两角，在如图所示的了两个三角形中，符合“斜 A”相似模型，只要证明它们相似即可，且证明它们相似只能用边的比例关系，而边的比例关系可以通过另一对相似三角形得到。
思维探究：
通过相似求出比例关系 证明：
通过“斜”A 相似证明等角。
【小结】通过相似证明等角是证明等角的一种常用方法，当发现“斜 A”相似模型后，首先要想到利用相似证明等角。
【例 3】已知：如图,在 O 中,CD 过圆心 O,且 CD⊥AB,垂足为 D,过点 C 任作一弦CF 交 O 于 F,交 AB 于 E. 求证：CB 2 =CF⋅CE.
【分析】求证的是一条线段的平方等于两条线段的积，结合它们的位置可以考虑构造“似”A 相似模型。
思维探究：连接 FB 构造“似 A”相似模型，证明 即可，需要找到一组等角。
证明：连接 BF、AC, 通过垂经定理、圆周角定理转化条件
证明相似，进而得到结论。
【小结】本题的关键是对平方关系转化，因此熟练掌握“似 A”相似模型很有必要。
三、成果检测 1. 如图,在直角梯形ABCD中,DC∥AB,∠DAB=90 ,AC⊥BC,AC=BC,∠ABC的平分线分别交 AD、AC 于点 E,F,则 的值是(
) A.
B.
C.
D.
【解析】
2. 如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，AC 与 BD 交于点 E，∠ADB=∠ACB. (1)求证：AB：AE=AC：AD； (2)若 AB⊥AC，AE:EC=1:2，F 是 BC 中点，求证：四边形 ABFD 是菱形。
【解析】
3. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，过点 O 作一条直线分别交 DA、BC 的延长线于点 E. F，连接 BE、DF. (1)求证：四边形 BFDE 是平行四边形； (2)若 EF⊥AB,垂足为 M,tan∠MBO= ，求 EM:MF 的值。
【解析】
4. 如图,在△ABC 中,D 是 BC 边上的点(不与点 B. C 重合)，连结 AD. 问题引入：
(1)如图①,当点 D 是 BC 边上的中点时,
=
;当点 D 是 BC边上任意一点时,
=
(用图中已有线段表示). 探索研究：
(2)如图②,在△ABC 中,O 点是线段 AD 上一点(不与点 A. D 重合),连结 BO、CO,试猜想 与 之比应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由。
拓展应用：
(3)如图③,O 是线段 AD 上一点(不与点 A. D 重合),连结 BO 并延长交 AC 于点 F,连结 CO 并延长交 AB 于点 E,试猜想 的值，并说明理由。
【解析】
5. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90 ，AC=8，BC=6，CD⊥AB 于点 D. 点 P 从点D 出发，沿线段 DC 向点 C 运动，点 Q 从点 C 出发，沿线段 CA 向点 A 运动，两点同时出发，速度都为每秒 1 个单位长度，当点 P 运动到 C 时，两点都停止。设运动时间为 t 秒。
(1)求线段 CD 的长； (2)设△CPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式,并确定在运动过程中是否存在某一时刻 t,使得 =9:100?若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由。
(3)当 t 为何值时，△CPQ 为等腰三角形? 【解析】
2.双垂线模型 一、本节概述 本节重点讲解“双垂线模型”的应用和构造方法，记住这个模型的一些常见结论，在解题中会起到很好的效果， 双垂线模型：如图中有两个直角标记，故称之为“双垂线模型”，会得到以下结论：
( 1 )角的关系：
( 2 )相似三角形：
( 3 )射影定理：
( 4 )等积变换：
请尝试证明上述结论
二、典例精析 能力目标：
1.熟练掌握双垂线模型； 2.识别利用、双垂线模型
【例 1】如图,已知△ABC 中,AD,BF 为 BC,AC 边上的高,过 D 作 AB 的垂线交 AB于 E,交 BF 于 G,交 AC 的延长线于 H,求证：DE 2 =EG⋅EH.
【分析】求证中涉及到的线段，其所在的三角形不能直接得到所求的结论，因此要进行转化，DE 恰好在“双垂直”模型中，因此 ,所求转成 ,只要证明它们所在的 和 相似即可。
思维探究：通过双垂直模型转化 DE。
证明：
利用相似三角形得到比例关系，进而转化为乘积关系。
【小结】本题利用双垂线转化线段的平法关系，是解题的关键。
【例 2】如图四边形 ABCD 是矩形，AB=2, ,求 EF 与 EG 的数量关系。
【分析】求 EF 与 EG 的数量关系，只要将它们放入方程中求出即可，由于 AB=2,E是 AC 中点，因此可以考虑构造中位线，进而出现双垂直模型。
思维探究：构造中位线。
解析：取 BC 的中点 H,连接 EH, 四边形 ABCD 是矩形，
在 中用勾股定理得到 EF 与 EG 的关系，
利用双垂线模型面积关系
整理方程得到关系，
【小结】本题利用“双垂直”模型的面积关系，当然也可以利用相似关系解决这个问题，留给同学们自己思考。
3.一线三等角 一、本节概述 本节重点讲解“一线三等角”模型的应用和构造方法，这个模型的构造通常出现在综合性较强的压轴题中。
模型一：
如图，若 ，会得到以下结论：
（1）
（2）
三角形相似
请尝试证明上述结论
模型二：
如图是一线三等角的另一种形式，有着类似的结论 我们会发现，其实前面学习的勾股弦图只是一线三等角的一种特殊情况。
二、典例精析 知识点 1：一线三等角 能力目标：
1.熟练掌握一线三等角模型 2.识别、利用简单的一线三等角模型解决问题
【例 1】如图，在等边三角形 中，AB=4AD=4,点 P 在边 BC(不与 B、C点重合)上移动，且保持 则 AE 的最小值是
。
思维探索：
求出相关量
解：
求 AE 的最小值等价于求 CE 的最大值，利用函数关系式求最值。
【小结】本题是非常明显的“一线三等角”模型，直接利用即可。
【例 2】在四边形 ABCD 中， ,BC=4, CD=6,则 AC=
思维探究：
由于 可尝试构造一线三等角
解：
【小结】有两个等角时，可尝试构造“一线三等角”
【例 3】在 中， ,D 是斜边 AB 的中点，E 是BC 边上一动点，连接 DE、AE，当 时，求 CE 的长。
思维探究：
解：
通过“一线三等角”构造相似三角形
利用相似三角形的性质解出所求。
【小结】本题为知道一角构造“一线三等角”，难度较大。
根据模型二构造一线三等角 【例 4】在 中，AB=AC,D 是底边 BC 上一点，E 是线段 AD 上一点，且 ,则 DB 与 DC 的数量关系为
。
思维探究：
解:
通过“一线三等角”构造全等三角形，
三、成果检测 1. 已知：如图,在矩形 ABCD 中,AB=4,AD=10,F 是 AD 上一点,CF⊥EF 于点 F 交AB 于点 E,CD:CF=1:2.求 AE 的长。
【解析】
2. 如图,AB=4,射线 BM 和 AB 互相垂直,点 D 是 AB 上的一个动点,点 E 在射线 BM上,2BE=DB,作 EF⊥DE 并截取 EF=DE,连结 AF 并延长交射线 BM 于点 C. 设BE=x,BC=y,则 y 关于 x 的函数解析式是(
)
【解析】
3. 如图,在矩形 AOBC 中,点 A 的坐标是(−2,1),点 C 的纵坐标是 4,则 B. C 两点的坐标分别是(
)
【解析】
过点 A 作 AD⊥x 轴于点 D,过点 B 作 BE⊥x 轴于点 E,过点 C 作 CF∥y 轴,过点 A作 AF∥x 轴，交点为 F，延长 CA 交 x 轴于点 H，
4. 如图 1,在等腰直角△ABC 中,∠BAC=90 ,AB=AC=2,点 E 是 BC 边上一点,∠DEF=45 且角的两边分别与边 AB，射线 CA 交于点 P，Q. (1)如图 2，若点 E 为 BC 中点，将∠DEF 绕着点 E 逆时针旋转，DE 与边 AB 交于点 P，EF 与 CA 的延长线交于点 Q.设 BP 为 x，CQ 为 y，试求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； (2)如图 3,点 E 在边 BC 上沿 B 到 C 的方向运动(不与 B,C 重合)，且 DE 始终经过点 A，EF 与边 AC 交于 Q 点。探究：在∠DEF 运动过程中，△AEQ 能否构成等腰三角形，若能，求出 BE 的长；若不能，请说明理由。
【解析】
5. 阅读理解 如图 1,若在四边形 ABCD 的边 AB 上任取一点 E(点 E 与点 A,B 不重合)，分别连结 ED，EC，可以把四边形 ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把 E 叫做四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把 E 叫做四边形 ABCD 的边 AB 上的强相似点。解决问题：
(1)如图 1,若∠A=∠B=∠DEC=55 ，试判断点 E 是否是四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点，并说明理由； (2)如图 2,在矩形 ABCD 中,AB=5,BC=2,且 A,B,C,D 四点均在正方形网格(网格中每个小正方形的边长为 1)的格点(即每个小正方形的顶点)上，试在图 2 中画出矩形 ABCD 的边 AB 上的一个强相似点 E； 拓展探究：
(3)如图 3,将矩形 ABCD 沿 CM 折叠,使点 D 落在 AB 边上的点 E 处。若点 E 恰好是四边形 ABCM 的边 AB 上的一个强相似点,请直接写出 BC：AB 的值。
【解析】
6. 在矩形 ABCD 中,点 P 在 AD 上,AB=2,AP=1.将直角尺的顶点放在 P 处,直角尺的两边分别交 AB,BC 于点 E,F,连接 EF(如图①). (1)当点 E 与点 B 重合时,点 F 恰好与点 C 重合(如图②)，求 PC 的长； (2)探究：将直尺从图②中的位置开始，绕点 P 顺时针旋转，当点 E 和点 A 重合时停止。在这个过程中，请你观察、猜想，并解答：
① 的值是否发生变化?请说明理由； ②直接写出从开始到停止，线段 EF 的中点经过的路线长。
【解析】
篇四：两动一定最小值问题如何做辅助线学科网
∠PHO ＝135°为定角，但其所对的边 OP 并非定弦 ，连 I D，易证△ PIO≌ △ OID，所以∠OID ＝∠PIO＝135°，且其所对的边为 OD，符合定弦定角条件，故 I 点轨迹为圆弧，问题易解.解 如图7 －1，连结 PI，OI，HI，DI.因为点 I 为 △ OPH 的内心，所以 △ PIO≌ △ OID.因为 PH⊥OD 于点 H，所以∠ PIO ＝90°＋ 12∠PHO ＝135°.所以∠OID ＝∠PIO ＝135°.又因为 OD ＝6， 所以 I 点在 △ OID 的外接圆上运动，作出 △ OID 的外接圆⊙O′，连结 O′O，O′D.所以∠OO′D ＝135°，O′O ＝3 2.所以 I 点运动路径长为90360×2π×3 2 ＝3 2π2.说明 此题较难的地方在于难以发现∠OID ＝135°这个定角，并且注意点 I 的运动轨迹是一段圆弧，而非整个圆.从这两类问题的研究中还可以发现一点：若无其它限制，主动点运动路径是圆弧， 从动点的运动路径也应是圆弧，并且从动点与主动点圆心角应该是相等的.面对着一个比较综合、有一定难度的数学问题，怎样才能引导学生迅速地找到其突破口，打开学生的解题思路呢？ 俗话说妙计可以打胜仗，良策则有利于解题，当学生对数学知识，数学思想方法的学习和运用达到一定水平时，应该把一般的思维升华到计策谋略的境界.只有掌握了一定的解题策略，才会在遇到问题时，找到问题的思考点和突破口，迅速、正确地解题.因此，在教学中要适当加强数学解题策略的指导，优化学生的思维品质，提高解题能力.由朱华伟，钱展望所著《数学解题策略》一书中谈到：“把学数学比作吃核桃，核桃仁美味而富有营养，但要砸开才能吃到它.数学教育要研究的，是如何砸核桃吃核桃 .教育数学呢，则要研究改良核桃的品种，让核桃更美味，更营养，更容易砸开吃净 .” 在实际的教学过程中我们发现许多问题，虽然属于不同的知识內容，但它们在方法策略上有相同或类似之处 .从解题的角度来看，顺利解决一道数学问题除了必须具备扎实的学科知识基础，更重要的是要有灵活的方法策略.我们在解题的时候常常碰到这样的情况：在百思不解的时候，经过解题高手一点拔，我们的思路豁然开朗，闪电一般解决了问题 .这说明我们并不是不熟悉问题涉及的知识內容，而是我们的方法策略不对，因此需要我们做教师的在平时的教学过程中多研究一些解题策略.参考文献：［1］徐宏.涉圆最值问题归类解析［J］.中学数学教学，2017（1）：38 －40.［2］朱华伟，钱展望著.数学解题策略［M］.北京：科学出版社，2009.例谈如何求 “一定两动型 ”折线段长的最小值江苏省淮安市淮阴区开明中学 223300马先龙
摘 要：“一个定点、两个动点”型折线段长的最小值问题一直是全国各地中考命题的热点.此类问题因难度较大，常常让答题者望而生畏.实际解题时，若能灵活地运用轴对称法，通过等线段代换，化“同”为“异”、化“折”为“垂”、化“折”为“定点与曲线上最近点连线”，则可化难为易，顺利解题.关键词：折线段；轴对称；化同为异；化折为垂作者简介：马先龙（1966 －），男，江苏淮阴人，本科，中学高级教师，江苏省淮安市骨干教师，研究方向：中学数学教学.
轴对称法［1］是解折线段长最小值问题行之有效 的方法.那么，实际解题时，如何灵活运用这种方法求· 8 2 · 理科考试研究· 数学版
2018 年 10 月10 日 万方数据
“一个定点、两个动点”型折线段长的最小值呢？一、构造轴对称点，化同为异，化折为垂例1 （2018 湖北十堰市中考）如图 1，Rt △ ABC中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝6 2，点 D、E 分别是边BC、AC 上的动点，则 DA ＋DE 的最小值为 .分析 如图 1，求 DA ＋DE 的最小值就是求折线段 AD—DE 长的最小值.作点 A 关于直线 BC 的对称点 A′，连接 DA′，则 AD ＝A′D.所以 DA ＋DE ＝A′D ＋DE.因 A′是定点，故过点 A′作 A′M⊥AC 于点 M，根据“垂线段最短”，知垂线段 A′M 的长就是折线段 A′D—DE 亦即折线段 AD—DE 长的最小值，求出 A′M 的长即可.解 如图1，作点 A 关于直线 BC 的对称点 A′，连接 DA′，则 DA ＝A′D.所以 DA ＋DE ＝A′D ＋DE.因 A′是定点，故过点 A′作 A′M⊥AC 于点 M，根据“垂线段最短”，知垂线段 A′M 的长就是 DA ＋DE 的最小值.在 Rt △ ABC 中，因为∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝6 2，所以 BC ＝ 32＋（6 2）2＝9.所以边 BC 上的高为 3 ×6 29＝2 2.所以 AA′＝4 2.因为∠A′AM ＋∠BAA′＝90°，∠ABC ＋∠BAA′＝90°，所以∠A′AM ＝∠ABC.在 Rt △ A′AM 中，sin∠A′AM ＝A′MAA′.在 Rt △ ABC 中，sin∠ABC ＝ACBC .所以 A′MAA′＝ACBC .所以 A′M4 2＝6 29，解得 A′M ＝163.所以 DA ＋DE 的最小值为 163.点评 本题的折线段属“一定两动”型，其中，两个动点都在线段上运动.通过构造点 A 关于直线 BC的对称点 A′，连接 DA′，得到 DA ＝A′D，达到了化直线BC 的同侧线段 AD、DE 为直线 BC 的异侧线段 A′D、DE，即化同为异的目的；通过构造 A′M⊥AC，知垂线段 A′M 的长即为折线段 AD—DE 长的最小值，从而达到了化折为垂，化难为易的目的.二、构造轴对称点，化同为异，化折为“定点与曲线上最近点连线”例2 （2018 黑龙江龙东地区中考）如图 2，已知正方形 ABCD 的边长是 4，点 E 是 AB 边上一动点，连接 CE，过点 B 作 BG⊥CE 于点 G，点 P 是 AB 边上另一动点，则 PD ＋PG 的最小值为 .分析 如图 2，求 PD ＋PG 的最小值就是求折线段 DP—PG 长的最小值.作点 D 关于直线 AB 的对称点 D′，连接 D′P，则 PD ＝D′P.所以 PD ＋PG ＝D′P ＋PG.设 BC 的中点为 O，以点 O 为圆心，BC 为直径作⊙O，过点 O 作 OM⊥AD 于点 M，设 OM 与⊙O 相交于点 N，由题意，易知点 G 在⊙O 的BN上运动，连接D′O，设 D′O 与⊙O 相交于点 H，根据“一点与圆上各点连线中，该点到过该点和圆心的直线与圆的近交点距离最近”，知 D′H 的长就是折线段 D′P—PG 亦即折线段 DP—PG 长的最小值，求出 D′H 的长即可.解 如图 2，作点 D 关于直线 AB 的对称点 D′，连接 D′P，则 PD ＝D′P.所以 PD ＋PG ＝D′P ＋PG.设 BC 的中点为 O，以点 O 为圆心，BC 为直径作⊙O，过点 O 作 OM⊥AD 于点 M，设 OM 与⊙O 相交于点 N.由题意，易知点 G 在⊙O 的BN上运动，连接D′O，设 D′O 与⊙O 相交于点 H，则线段 D′H 的长就是 D′P· 9 2 ·
2018 年10 月10 日
理科考试研究· 数学版万方数据
＋PG 的最小值，也就是 PD ＋PG 的最小值.在 Rt △ D′OM 中，因为∠D′MO ＝90°，OM ＝AB ＝4，D′M ＝4 ＋2 ＝6，所以 D′O ＝ 62＋42＝2 13.所以 D′H ＝D′O －OH ＝2 13 －2.所以 PD ＋PG 的最小值为2 13 －2.点评 本题的折线段属“一定两动”型，其中，一个动点在线段上运动，另一个动点在圆弧上运动.通过构造点D 关于直线AB 的对称点 D′，连接D′P，得到PD ＝D′P，达到了化直线 AB 的同侧线段 PD、PG 为直线 AB 的异侧线段 D′P、PG，即化同为异的目的；通过构造⊙O，连接 D′O 与⊙O 相交于点 H，知线段 D′H 的长即为折线段 DP—PG 长的最小值，从而达到了化折为“定点与圆上最近点连线”，化难为易的目的.例3 如图 3，已知正方形 ABCD 的边长是 4，动点 E 从点 A 出发沿边 AB 向点 B 运动，同时，动点 F从点 B 出发沿边 BC 向点 C 运动，点 E、F 运动的速度相同，当它们到各自终点时停止运动.设运动过程中AF 与 DE 相交于点 M，P 是边 CD 上任意一点，则 PB＋PM 的最小值为 .分析 如图3，求 PB ＋PM 的最小值就是求折线段 BP—PM 长的最小值.作点 B 关于直线 CD 的对称点 B′，连接 B′P，则 PB ＝B′P.所以 PB ＋PM ＝B′P ＋PM，连接 B′M，则 B′P ＋PM ＞B′M.如图4，设 AD 的中点为 O，以点 O 为圆心，AD 为直径作⊙O，则⊙O 必经过正方形 ABCD 的中心 G，由题意，易知点 M 在⊙O的AG上运动，当点 E 运动到点 B，点 F 运动到 C 时，点M 运动到点 G，此时，B′M 的长最小，故 B′G 的长就是折线段 B′P—PM 亦即折线段 BP—PM 长的最小值，求出 B′G 的长即可.解 如图3，作点 B 关于直线 CD 的对称点 B′，连接 B′P，则 PB ＝B′P.
所以 PB ＋PM ＋B′P ＋PM.连接 B′M，则 B′P ＋PM ＞B′M.如图4，设 AD 的中点为 O，以点 O 为圆心，AD 为直径作⊙O，则⊙O 必经过正方形 ABCD 的中心 G.由题意，知 AE ＝BF.又因∠DAE ＝∠ABF，AD ＝AB，所以 △ DAE≌ △ ABF（SAS）.所以∠ADE ＝∠BAF.所以∠ADE ＋∠DAM ＝∠BAF ＋∠DAM ＝90°.所以∠AMD ＝90°.所以点 M 在⊙O 的AB上运动，当点 M 运动到点G，B′M 的长最小，故 B′G 的长就是 PB ＋PM 的最小值.过点 G 作 GN⊥BC 于点 N，在 Rt △ B′GN 中，∠B′NG ＝90°，B′N ＝4 ＋2 ＝6，GN ＝ 12AB ＝2.由勾股定理，得 B′G ＝ B′N2＋GN2＝ 62＋22＝2 10，所以 PB ＋PM 的最小值为 2 10.点评 本题的折线段属“一定两动”型，其中，一个动点在线段上运动，另一个动点在圆弧上运动.通过构造点 B 关于直线 CD 的对称点 B′，连接 B′P，得到PB ＝B′P，达到了化直线 CD 的同侧线段 PB、PM 为直线 CD 的异侧线段 B′P、PM，即化同为异的目的；通过构造⊙O，知⊙O 必经过正方形 ABCD 的中心 G，且点M 在⊙O 的AG上运动，连接 B′G，知线段 B′G 的长即为折线段 BP—PM 长的最小值，从而达到了化折为“定点与圆弧上最近点连线”，化难为易的目的.综上，用轴对称法求“一定两动”型折线段长的最小值，当两个动点都在线段上运动时，采用构造轴对称点，化同为异，化折为垂的方法求解；当两个动点一个在线段上运动，另一个在曲线上运动时，采用构造轴对称点，化同为异，化折为“定点与曲线上最近点连线”的方法求解.“模式只是提供了一种相对稳定的样本，遇到一个新的问题时，还需要转化或分解问题，创新出更多的模式［2］”.更多的运用，留给读者.参考文献：［1］ 马先龙 .因题而异 按需取法［J］.中学数学杂志，2015（2）：58 - 60.［2］ 罗增儒.数学解题学引论［M］.西安：陕西师范大学出版社，2001.· 0 3 · 理科考试研究· 数学版
2018 年 10 月10 日 万方数据
篇五：两动一定最小值问题如何做辅助线学科网
添辅助线求面积在奇妙的几何世界里， 几何图形多种多样， 千变万化. 许多几何问题，只靠原图形上已有的线段很难发现解题思路， 需要添加一条或几条原图形上没有的线段， 在图形与图形之间架起“桥梁” ， 这样才能发现图形之间的关系， 进而找到解题思路.
例 1 图 1 中， BD=3AD， CE=5AE， 问三角形 ABC 的面积是三角形 ADE 的面积的多少倍？
分析与解 根据条件， 无法直接求出面积， 又因为三角形 ADE 与三角形 ABC既不等底也不等高， 所以无法直接找到它们面积之间的关系. 因此需要作出一些等底或等高的三角形来. 这样通过三角形底或高的倍数关系， 去求三角形面积的倍数关系. 根据 BD=3AD， CE=5AE， 可以分别以 BD、 AD、 CE、AE 为三角形的底， 作出等高三角形， 去寻找它们面积之间的关系. 为此只要连结 CD， 即可达到目的.
首先连结 CD， 得到图 2.
可以看出， 三角形 ADE 和三角形 DCE 是等高三角形. 因为 CE=5AE， 所以三角形 DCE 的面积等于三角形 ADE 面积的 5 倍. 因此三角形 ADC 的面积等于三角形 ADE 面积的（5+1）
倍.
同样， 三角形 ADC 和三角形 BCD 也是等高三角形， 因为 BD=3AD， 所以三角形 BCD 的面积等于三角形 ADC 的面积的 3 倍. 因此三角形 ABC 的面积等于三角形 ADC 面积的（3+1）
倍.
综合上面两个结论， 有
三角形 ABC 面积
=三角形 ADE 面积×（5+1）
×（3+1）
=三角形 ADE 面积×6×4
=三角形 ADE 面积×24
所以三角形 ABC 面积是三角形 ADE 面积的 24 倍.
通过例 1 可以看到， 由于添了一条原图上没有的线段 CD， 使得三角形 ABC 与三角形 ADE 之间建立了联系. 我们把这种原图上没有， 后添出来的线叫辅助线. 为了 区别于原图上的线， 凡是后添的辅助线一律画成虚线.
想一想：
上例连结 BE 可以吗？ 如何计算？
例 2 图 3 中正方形 ABCD 的边长是 4 厘米， 长方形 DEFG 的长 DG=5 厘米，问长方形的宽 DE 为多少厘米？
分析与解 因为长方形面积=长×宽， 现在已知长方形 DEFG 的长， 要求宽，所以先求长方形 DEFG 的面积. 而正方形 ABCD 面积已知， 能找出正方形ABCD 面积与长方形 EFGD 面积之间的关系即可. 观察两个图形的重叠部分发现， 如果连结 AG， 如图 4， 那么在正方形 ABCD 中， 三角形 AGD 的底和高分别为正方形边长 AD 和 CD， 所以它的面积是正方形 ABCD 面积的一半.同样在长方形 EFGD 中， 三角形 AGD 的底为长方形的长 DG， 高为长方形的宽 DE， 所以它的面积也是长方形 DEFG 面积的一半. 这样就找到了长方形DEFG 与正方形 ABCD 面积之间的关系.
连结辅助线 AG， 如图 4.
因为三角形 AGD 的面积是正方形 ABCD 面积的一半， 也是长方形 DEFG面积的一半. 所以
长方形 DEFG 面积=正方形 ABCD 面积
=4× 4
=16（平方厘米）
长方形 DEFG 的宽
DE=16÷5=3. 2（厘米）
例 3 在图 5 中， 四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于 E， F、 G 分别是 AC、BD 延长线上的点， 且 CF=AE， DG=BE. 如果四边形 ABCD 的面积为 10 平方厘米， 求三角形 EFG 的面积.
分析与解 本题显然需要先设法找出三角形 EFG与四边形 ABCD之间的关系来. 从图 5 中可以看出：
因为三角形 CDE 是三角形 EFG 与四边形 ABCD 的公共部分， 所以只需要找出四边形 CDGF 与三个小三角形 ABE、
BCE、
DAE面积之间的关系. 由 CF=AE， DG=BE 可以想到作等底三角形， 因此可连结CG 和 AG， 如图 6. 可以发现， 三角形 BCE 和 CGD， 三角形 ABE 和 ADG， 三角形 CFG 和 AEG 都分别是等底等高的三角形， 这样就可以找到它们面积之间的关系.
首先连结辅助线 CG 和 AG， 如图 6.
在三角形 BCE、 CGD 和三角形 ABE、 ADG 中， 因为 BE=DG， 且又分别共顶点 C 和 A， 所以它们分别是等底等高的三角形， 面积相等. 因此
三角形 BCE 面积+三角形 CDE 面积
=三角形 CGD 面积+三角形 CDE 面积
=三角形 CGE 面积
三角形 ABE 面积+三角形 AED 面积
=三角形 ADG 面积+三角形 AED 面积
=三角形 AEG 面积
在三角形 CFG 和 AEG 中， 因为 CF=AE， 且又共顶点 G， 所以它们也是等底等高的三角形， 面积相等. 因此
三角形 EFG 面积
=三角形 CFG 面积+三角形 CGE 面积
=三角形 AEG 面积+三角形 CGE 面积
=（三角形 ABE 面积+三角形 AED 面积）
+（三角形 BCE 面积+三角形CDE
面积）
=四边形 ABCD 面积
=10（平方厘米）
例 4 如图 7， 已知三角形 ABC 面积为 1， 延长 AB 至 D， 使 BD=AB； 延长 BC至 E， 使 CE=2BC； 延长 CA 至 F， 使 AF=3AC， 求三角形 DEF 的面积.
分析与解 由已知条件无法直接求出三角形 DEF 的面积. 应找到与三角形ABC 面积之间的关系. 根据 BD=AB， CE=2BC， AF=3AC 发现， 可以分别以 BD、CE、 AF 为底， 与三角形 ABC 作等高三角形. 通过观察容易想到连结 CD、 AE，如图 8， 这样可以通过各个三角形与小三角形 ABC 面积之间的关系， 求得大三角形 DEF 的面积.
首先连结 CD、 AE， 如图 8.
因为三角形 ABC 与 BDC 共顶点 C， 且 AB=BD， 所以
三角形 BDC 面积=三角形 ABC 面积
=1
因为三角形 ABC 与 ACE 共顶点 A， 且 CE=2BC， 所以
三角形 ACE 面积=2×三角形 ABC 面积
=2× 1
=2
因为三角形 ACE 与 AEF 共顶点 E， 且 AF=3AC， 所以
三角形 AEF 面积=3×三角形 ACE 面积
=3× 2
=6
因为三角形 ADC 与 AFD 共顶点 D， 且 AF=3AC， 所以
三角形 AFD 面积=3×三角形 ADC 面积
=3×（1+1）
=6
因为三角形 BDC 与 CDE 共顶点 D， 且 CE=2BC， 所以
三角形 CDE 面积=2×三角形 BDC 面积
=2× 1
=2 因此，
三角形 DEF 面积=1+2+2+6+6+1=18
说明：
本题的辅助线不止限于连结 CD 和 AE， 还可以连结 BF 和 CD （或AE）
， 请同学们自己试着做一做.
通过以上几个例题可以看出， 在许多几何问题中， 添加辅助线， 使得图形与图形之间建立了 联系， 就好像在图形与图形之间架起了“桥梁” .但是什么问题需要添辅助线， 添多少条， 没有一个固定不变的、 普遍适用的方法可循， 要具体问题具体分析. 只要勤思考、 多练习， 就能够比较顺利地、 巧妙地添出所需辅助线， 最终达到解题目的.
练习四
1. 图 9 中三角形 ABC 的面积为 1 个面积单位， 其中 AE=3AB， BD=2BC，求三角形 BDE 的面积.
2. 一个平行四边形分成两部分， 如图 10. 它们的面积差是 18. 6 平方厘米， 问梯形的上底是多少厘米？
3. 图 11 中， 正方形 ABCD 的一条对角线 BD 被过 DA 和 BC 的两条平行线分成长都是 1 厘米的三部分， 求这个正方形 ABCD 的面积.
4. 图 12 中， 四边形 ABCD 的面积是 1 平方厘米， AB=AE， BC=BF， DC=CG，AD=DH， 求四边形 EFGH 的面积.
5. 如图 13， 长方 形 ABCD 的面积为 36 平方厘米. E、 F、 G 分别为边 AB、BC、 CD 的中点， H 为 AD 边上任意一点， 问阴影部分的面积是多少？
练习四
1. 4 个面积单位.
连结 CE. 因为 AE=3AB， 所以 BE=2AB. 因此三角形 BCE 面积为
2×三角形 ABC 面积=2（面积单位）
因为 BD=2BC， 所以三角形 BCE 面积=三角形 CDE 面积. 因此三角形 BDE面积为
2×三角形 BCE 面积=4（面积单位）
2. 3 厘米
作 AF 平行于 CE 交 BC 于 F.
因为 三角形 ABF 面积=三角形 CDE 面积
所以 平行四边形 AFCE 面积=18. 6 平方厘米
因为 平行四边形 AFCE 的高=6. 2 厘米
所以 AE=18. 6÷6. 2=3（厘米）
即梯形的上底是 3 厘米.
3. 4. 5 平方厘米
连 AC 交 BD 于 O， AC 与 BD 互相垂直平分.
因为 BD=1× 3=3（厘米）
4. 5 平方厘米
如图， 连结 DE 和 DB，
因为 EA=AB
所以 三角形 ADE 面积
=三角形 ABD 面积
又因为 AD=DH
所以 三角形 AHE 面积
=2×三角形 ADE 面积
=2×三角形 ABD 面积
同理， 连结 BG， 因为 DC=CG， CB=BF， 所以
三角形 CFG 面积
=2×三角形 CBG 面积
=2×三角形 BCD 面积
连结 AC 和 HC， 因为 AD=DH， DC=CG，
所以 三角形 DGH 面积
=2×三角形 DCH 面积
=2×三角形 ACD 面积
同理， 连结 AF， 因为 BC=BF， EA=AB， 所以
三角形 BEF 面积
=2×三角形 AFB 面积
=2×三角形 ABC 面积
故 四边形 EFGH 面积
=三角形 AHE 面积+三角形 CFG 面积+三角形 DGH 面积+三角形 BEF
面积+四边形 ABCD 面积
=2（三角形 ABD 面积+三角形 DBC 面积+三角形 ACD 面积+三角形
ABC 面积）
+1
=2×（1+1）
+1
=5（平方厘米）
5. 18 平方厘米
连结 BH. 因为 E、 F、 G 分别是边 AB、 BC、 CD 的中点，
所以 阴影面积
=三角形 BFH 面积+（三角形 BHE 面积+三角形 DHG 面积）
篇六：两动一定最小值问题如何做辅助线学科网
、菱形、正方形辅助线的作法专 题 训 练重庆市万州区走马初级中学初二下 （第 3 13 周练习）
一、连结法
１、 如图，在菱形 ABCD 中， AB =5 ，对角线 AC =6 ．若过点 A A 作 AE ⊥ BC ，垂足为 E E ，则 AE 的长为（
）
A A ．
4 4
B B ．
C C ．
D D ．
5 5
２、 如图，矩形 D ABCD 中， AB=8 ， BC=4 ．点 E E 在边 B AB 上 ，点 F F 在边 D CD 上，点 G G 、H H 在对角线 C AC 上．若四边形 H EGFH 是菱形，则 E AE 的长是（
）
A A ．2 2
B B ．
3 3
C C ．
5 5
D D ．
6 6
３、如图，在矩形 D ABCD 中， AB=4 ， AD=6 ，M M ，N N 分别是 AB ，D CD 的中点，P P 是 是 AD上的点，且 ∠ PNB=3 ∠ CBN ．
（1 1 ）求证：
∠ PNM=2 ∠ CBN ；
（2 2 ）求线段 A AP P 的长．
４、如图，在平面 直角坐标系中，矩形 C OABC 的对角线 OB ，C AC 相交于点 D D ，且BE ∥ AC ， AE ∥ OB ，（1 1 ）求证：四边形 D AEBD 是菱形；
（2 2 ）如果 OA=3 ， OC=2 ，求出经过点 E E 的反比例函数解析式．
５、 如图，正方形 D ABCD 的 边长为 8cm ，E E 、F F 、G G 、H H 分别是 AB 、 BC 、 CD 、A DA 上的动点，且 AE=BF=CG=DH ．
（1 1 ）求证：四边形 H EFGH 是正方形；
（2 2 ）判断直线 G EG 是否经过一个定点，并说明理由；
（3 3 ）求四边形 H EFGH 面积的最小值．
６、如图，四边形 D ABCD 是边长为 2 2 ，一个锐角等于 60° 的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点 D D 重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交 CB 、 BA （或它们的延长线）于点 E E 、F F ， ∠ EDF=60° ，当 当 F CE=AF 时，如图 1 1 小芳同学得出的结论是 DE=DF ．
（1 1 ）继续旋转三角形纸片，当 F CE≠AF 时，如图 2 2 小芳的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；
（2 2 ）再次旋转三角形纸片，当点 E E 、F F 分别在 CB 、A BA 的延长线上时，如图 3 3请直接写出 E DE 与 与 F DF 的数量关系；
（3 3 ）连 EF ，若 △F DEF 的面积为 y y ， CE=x ，求 y y 与 与 x x 的关系式，并指出当 x x 为何值时，y y 有最小值，最小值是多少？
二、中心对称法（倍长法）
１、 如图 1 1 ，四边形 D ABCD 是正方形，M M 是 是 C BC 边上的一点，E E 是 是 D CD 边的中点， AE平分 ∠DAM ．
【探究展示】
（1 1 ）证明：
AM=AD+MC ；
（2 2 ）M AM=DE+BM 是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【拓展延伸】
（3 3 ）若四边形 D ABCD 是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图 2 2 ，探究展示（1 1 ）、（2 2 ）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．
２、 在菱形 ABCD 和正三角形 BGF 中， ∠ ABC =60° ， P P 是 DF 的中点，连接 PG 、P P C C ．（1 1 ）如图 1 1 ，当点 G G 在 BC 边上时，易证：
PG = = P P C C ．如图 2 2 ，当点 F F 在 AB的延长线上时，线段 PC 、 PG 有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给与证明；
（3 3 ）如图 3 3 ，当点 F F 在 CB 的延长线上时，线段 PC 、 PG 又有怎样的数量关系，写出你的猜想（不必证明）．
３、如图，在D □ABCD 中, ,点 点 M M 为边 D AD 的中点，过点 C C 作 作 B AB 的垂线交 B AB 于点 E E ，连接 ME.
（1 1 ）若 AM=2AE=4 ，∠ BCE=30 °, , 求D □ABCD 的面积；
（2 2 ）若 BC=2AB ，求证：∠ EMD=3 ∠ MEA.
三、旋转法
１、 （1 1 ）如图，正方形 ABCD 中，点 E E ， F F 分别在边 BC ， CD 上， ∠ EAF =45° ，延长 CD 到点 G G ，使 DG = = BE ， 连结 EF ， AG ．求证：
EF = = FG ．
（2 2 ）如图，等腰直角三角形 ABC 中， ∠ BAC =90° ， AB = = AC ，点 M M ， N N 在边 BC 上，且 ∠ MAN =45° ，若 BM =1 ， CN =3 ，求 MN 的长．
２、如图，正方形 D ABCD 的边长为 6 6 ，点 E E 、F F 分别在 AB ，D AD 上，若 CE=3 ，且∠ ECF=45° ，则 F CF 的长为（
）
A A ．2 2
B B ．
3 3
C C ．
D D ．
_ A _ C _ D _ M _ E _ B
四、构造法
如图，在正方形 D ABCD 中，点 E E 是边 C BC 的中点，直线 F EF 交正方形外角的平分线于点 F F ，交 C DC 于点 G G ，且 AE⊥EF ．
（1 1 ）当 2 AB=2 时，求C △GEC 的面积；
（2 2 ）求证：
AE=EF ．
篇七：两动一定最小值问题如何做辅助线学科网
何辅助线（补形法）+ 数据处理 一、 知识点 （一）几何辅助线（补形法）一些几何题的证明或求解，由原图形分析探究，有时显得十分繁难，若通过适当的“补形”来进行，即添置适当的辅助线，将原图形填补成一个完整的、特殊的、简单的新图形，则能使原问题的本质得到充分的显示，通过对新图形的分析，使原问题顺利获解。这种方法，我们称之为补形法。
1、 、 补成三角形 （ （1）
）
补成三角形 例 1、如图 1，已知 E 为梯形 ABCD 的腰 CD 的中点； 证明：△ABE 的面积等于梯形 ABCD 面积的一半。
分析：过一顶点和一腰中点作直线，交底的延长线于一点， 构造等面积的三角形。这也是梯形中常用的辅助线添法之一。
（ （2）
）
补成等腰三角形 例 2、如图 2，已知∠A＝90°，AB＝AC，∠1＝∠2，CE⊥BD，求证：BD＝2CE 分析：因为角是轴对称图形，角平分线是对称轴，故根据对称性作出辅助线， 不难发现 CF＝2CE，再证 BD＝CF 即可。
（ （3）
）
补成直角三角形 例 3、如图 3，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＋∠C＝90°，F、G 分别是 AD、BC 的中点， 若 BC＝18，AD＝8，求 FG 的长。
分析：从∠B、∠C 互余，考虑将它们变为直角三角形的角，故延长 BA、CD， 要求 FG，需求 PF、PG。
（ （4）
）
补成等边三角形 例 4、如图 4，△ABC 是等边三角形，延长 BC 至 D，延长 BA 至 E，使 AE＝BD，连结 CE、ED。
证明：EC＝ED 分析：要证明 EC＝ED，通常要证∠ECD＝∠EDC，但难以实现。
这样可采用补形法即延长 BD 到 F，使 BF＝BE，连结 EF。
图 图 3
2 、补成特殊的四边形 （ （1）
）
补成平行四边形 例 5、如图 5，四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、CD、AC、BD 的中点，并且 E、F、G、H 不在同一条直线上，求证：EF 和 GH 互相平分。
分析：因为平行四边形的对角线互相平分，故要证结论， 需考虑四边形 GEHF 是平行四边形。
（2）
）
补成矩形 例 6、如图 6，四边形 ABCD 中，∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，AB＝200m，CD＝100m， 求 AD、BC 的长。
分析：矩形具有许多特殊的性质，巧妙地构造矩形，可使问题转化为解直角三角形， 于是一些四边形中较难的计算题不难获解。
（ （3）
）
补成菱形 例 7、如图 7，凸五边形 ABCDE 中，∠A=∠B＝120°，EA＝AB＝BC＝2，CD＝DE＝4， 求其面积。
分析：延长 EA、CB 交于 P，根据题意易证四边形 PCDE 为菱形。
（ （4）
）
补成正方形 例 8、如图 8，在△ABC 中，AD⊥BC 于 D，∠BAC＝45°，BD＝3，DC＝2， 求△ABC 的面积。
分析：本题要想从已知条件直接求出此三角形的面积确实有些困难，如果从题设 ∠BAC＝45°，AD⊥BC 出发，可以捕捉到利用轴对称性质构造一个正方形 的信息，那么问题立即可以获解。
（ （5）
）
补成梯形 例 9、如图 9，已知：
G 是△ABC 中 BC 边上的中线的中点，L 是△ABC 外的一条直线，自 A、B、C、 G 向 L 作垂线，垂足分别为 A 1 、B 1 、C 1 、G 1 。
求证：
) 2 (411 1 1 1CC BB AA GG
分析：本题从已知条件可知，中点多、垂线多特点，联想到构造直角梯形来加以 解决比较恰当，故过 D 作 DD 1 ⊥L 于 D 1 ，则 DD 1 既是梯形 BB 1 C 1 C 的中位 线，又是梯形 DD 1 A 1 A 的一条底边，因而，可想到运用梯形中位线定理突破.
图 图 7 图 图 8 图 9 图 6
（二）数据处理 1、 、 五 个基本统计量（平均数、众数、中位数、极差、方差）的数学内涵: （ （1）
）
平均数：反映一组数据的平均水平，平均数分为算术平均数和加权平均数。
（2 2 ）众数与 中位数 ：平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量。
平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中有 个数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适。中位数与数 据排列有关，个别数据的波动对中位数没影响；当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众 数来描述。
（3 3 ）
极差：极差 = 最大值 最小值。
（4 4 ）
方差：各个数据与平均数之差的平方的平均数，巧计方法：方差是偏差的平方的平均数。
标准差：方差的算术平方根，记作 s 。
方差和标准差都是反映一组数据的波动大小的一个量，其值越大，波动越大。
2、 、 平均数 、与中位数、众数的区别 与 联系。
联系：平均数、中位数和众数都反映了一组数据的集中趋势，其中以平均数的应用最为广泛。
区别：A
平均数的大小与这组数据里每个数据均有关系，任一数据的变动都会引起平均数的变动。
B
中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响。当一组数据中的个别 数据变动较大时，可用它来描述其集中趋势。
C
众数主要研究个数据出现的频数，其大小只与这组数据中的某些数据有关，当一组数据中有 不少数据多次重复出现时，我们往往关心众数。其中众数的学习是重点。
二、课堂练习 2、如图，已知：在△ABC 内，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P、Q 分别在 BC、CA 上，并且 AP、BQ 分别是∠BAC、∠ABC 的角平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP
A B Q C P
3、已知：∠BAC=90°，AB=AC，AD=DC，AE⊥BD，求证：∠ADB=∠CDE
4、设正三角形 ABC 的边长为 2，M 是 AB 边上的中点， P 是 BC 边上求：S2－t2的 的任意一点，PA+PM 的最大值和最小值分别记为 S 和，值。
1、有一组数据 16， x ，19，19，它们的平均数比众数小 1，则这组数据的平均数和中位数分别是（
）
A. 18，17.5
B. 18，19
C. 19，18
D. 18，18.5 2、某班抽取 6 名同学参加体能测试，成绩如下：80，90，75，75，80，80。下列表述错误的是（
）
A. 众数是 80
B. 中位数是 75
C. 平均数是 80
D. 极差是 15 3、对校对八年级甲、乙两个班的学生进行一分钟跳绳次数测试，测试的有关数据如下表：
班级 测试人数 平均次数 中位数 众数 方差 甲班 50 136 120 132 151 乙班 50 135 123 132 128 则下列判断中错误的是（
）
A、甲班学生成绩比乙班学生成绩波动大
B、甲班成绩数据的标准差比乙班成绩的标准差大 C、甲班学生成绩按从高到低的顺序排列，则处在中间位置的成绩是跳 132 次/min A B C D E A B C P M
D、若跳 120 次/min 作为达标成绩，则乙班的达标率不低于甲班的达标率 4、数学老师对小明在参加高考前的 5 次数学模拟考试进行统计分析，判断小明数学成绩是否稳定，于是老师需要知道小明这 5 次数学成绩的（
）
A. 平均数或中位数
B. 方差或极差
C. 众数或频率
D. 频数与众数 5、在一次数学考试中，第一小组的 14 名同学的成绩与全班平均分的差是 2，3， 5 ，10，12，8，2， 1 ， 5 ，4， 10 ， 2 ，5，5（全班平均成绩为 83 分），则这个小组的平均成绩是（
）
A．81 分
B．83 分
C．85 分
D．87 分 6、有一组数据，按从小到大的顺序排列为 13，14，19， x ，23，27，28，31，其中位数是 22， 则 x 等于（
）
A．23
B．22
C．20
D．21 7、一个样本的方差为零，若中位数是 a ，那么它的平均数是（
）
A．小于 a
B. 等于 a
C. 大于 a
D. 不能确定 8、若一组数据na a a , ,2 1的平均数是 9，方差是 2，那么
（1）数据 4 , , 4 , 42 1 na a a 的平均数是_________，方差是__________；
（2）数据na a a 3 , , 3 , 32 1 的平均数是_________，方差是__________；
（3）数据 152, , 152, 1522 1 na a a 的平均数是_________，方差是__________。
9、某校为了了解九年级学生体育测试成绩情况，以九年（1）班学生的体育测试成绩为样本，按A B C D ， ， ， 四个等级进行统计， 并将统计结果绘制如下两幅统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：
（说明：A 级：90 分~100 分；B 级：75 分~89 分；C 级：60 分~74 分；D 级：60 分以下）
（1）求出 D 级学生的人数占全班总人数的百分比； （2）求出扇形统计图中 C 级所在的扇形圆心角的度数；
（3）该班学生体育测试成绩的中位数落在哪个等级内； （4）若该校九年级学生共有 500 人，请你估计这次考试中 A 级和 B 级的学生共有多少人？
10、某国家的一工厂职工的月工资及人数如右表：
（1）求月工资的平均数，工厂主用这个平均数作为代表数， 这是为什么? （2）求月工资的众数，工会领导用众数作为代表数， 这是为什么？ （3）求月工资的中位数，税务员用中位数作为代表数， 这是为什么？
11、如图，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第 1 幅图中有 1 个，第 2 幅图中有 3 个，第 3 幅图中有 5 个，问第 n 幅图中共有______________个．
12、一个质点在第一象限及 x 轴、 y 轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到 ) 1 , 0 ( ，然后接着按图中箭头所示方向运动，即 ) 0 , 1 ( ) 1 , 1 ( ) 1 , 0 ( ) 0 , 0 ( ，且每秒移动一个单位，那么第 80 秒时质点所在位置的坐标是____________ 。
月工资数（美元）
人数 10000 1（总经理）
8000
2（副总经理）
5000
2 （总经理助理）
2000 5 1000 12 900 18 800 23 700 5 500 2 … … 第 1 幅 第 2 幅 第 3 幅 第 n 幅
篇八：两动一定最小值问题如何做辅助线学科网
mdash;3l D 数学 数 学 2018年第 6期 圆上动点到两定点距 离线性和 的最小值 问题 于学明 李世 臣 (1．河南省商水县希望中学，河南 商水 466100； 2．河南省周口市川汇区教体局教研室，河南 周 口 466001) 设动 点 P和两定点 A、B，我们不妨称 PA+AP日为点P到两定点A、B距离的线性和．当A=1，P点在一条定直线上移动时，两 定点A、 在这条定直线的同侧 ，求PA+P 的 最小值问题是典型的将军饮马问题，通常利用 对称变换 ，将同侧化异侧 ，然后利用“两点间线 段最短”原理进行判断．
当 A≠1，P点在一个确定的圆弧上移动 时，两定点A、B同在这个定圆的内部或外部， 怎样求 PA+APB的最小值呢?研究发现，可通 过构造相似三角形 ，利用线段 比实现不等系数 线段和向相等系数线段和的转化，把同在圆内 或圆外的两定点转化为一个圆内定点和一个 圆外定点 ，然后应用线段最短原理解决问题．
例 l 如图 1，线段 AB的两端点分别在两 条坐标轴的正半轴上滑动，中点为 M，若 AB = 8，C(8，0)，D(5，4)，则 CM +2MD的最小 值为 — —． 解析：连结OM，因为 ZAOB：9oo，AM = ， AB =8，所以OM =4，点M的轨迹是以原点 0 为圆心，半径长为4的圆在第一象限内的圆弧．
在线 段 OC上 取 点 E，使 得 ／OME ：
／OCM，则 AOME— AOCM．
图 1 所以 = = ．又因为 OC =8， OM =4，所以 OE =2，MC =2ME．
因此 E(2，O)，CM +2MD = 2(ME + MD)≥ 2DE，当点 在线段 DE上时，等号 成立． 因为 DE = √(5—2) +4 =5，所以 CM +2MD的最小值为 l0．
例 2 如 图2，在矩形 ABCD中，AB =6， BC=8，以点 B为圆心 、BC为半径画圆弧 ，交 BA的延长线于点 E，点 P在弧 EC上，连结 PA， PD．
、 尸 — —
7 ～ ， ／ D 图 2 求 5PA+3PD的最小值．
解析 ：连结 P日、BD，则 P曰 ：
8，BD = 10．
在线 段 BD 上 取 点 ，，使 得 LBPF = ／ _．_BDP，连结 PF，则 ABPF ABDP．
因为嚣=器= ，所以 = ，
PD = pF． 河南省2017年农村学校应用性教育科研课题《基于Geogebra软件的数学教学实验研究》(项 目编号：17一HJYY 525)阶段性研 究成果．
2018年第 6期 数 学教 学 6—3l 在 线 段 BE 的 延 长 线 上 取 点 G，使 得 LBPG=／_BAP，连结PG，则 ABPG △ 因为 BG=B 丽P= PG， 所以曰G=了32， =
G．
N~spa+3PD=竽(PF+pc)≥竽GF，
当 G、P、F三点共线时，等号成立． ig~ CF，因为 =了3 =历 CD，LFBG = LCDB，所 以 ／XBFG一 ／XDCB．
于是 FG = DCB =90o．故 128 —
15’
9~ SPA+3PD≥ 15×百 128=32． 即，5PA+3PD的最小值是 32． 例 3 如图3，半圆oD的直径 AB =4，点 C在半圆弧上移动 ，AC：AD， CAD=90。，连 结 DO、DB，求 DB+ DD的最小值．
图 3 解析 ：连结 CD，延长 CD交QO于点 E，连 结 EO．
因为 AC =AD， CAD =90。， 所 以 LACD= ADC=45。． 因此 LAOE =90。，LADE =135。．
以AO、OE为边 ，作正方形 AOEF，则点 D 在以点 F为圆心，半径为 2的圆弧上运动．
连结船 ，则FB=√ +A =2 ．
连结 FD，在 AFBD的内部，作 LFDG = FBD，交 FB于点 G，则 △FDG △FBD． 所以D 塑 G= = ．于是 D =,／gco．
从而 D +√5D0 = √5(GD +00)≥ GO，当 G、D、0共线时，等号成立．
连结 AG，因为 FA = FD = FG ·FB， AFG = BFA，所 以 △FAG ／XFBA．
因此 LFGA = FAB =90。．于是点 G恰 好在 oO上．从而 GO=2． 故 DB+ DO的最小值是 2,8．
例 4 如图4，在边长为 2,g的等边 ／xABC 中，点 D为 AC的中点 ，动点 P在 AABC内，连 结 PA、PB、PC、PD， PAB = LPBC，求 PC+2PD的最小值． A B C 图4 解析：在 等边 AABC中，因为 LPAB = LPBC，所 以 PA + LPBA ：
PBC + 删 = LABC = 60。． LAPB = 120。．
则点 P在以 AB为弦 ，圆周角为 120。的圆 弧上．
设圆弧的圆心为 O，连结 OC，交 AB于点 E，则点 E是 AB的中点，连结 OP、OB． 因为 BC=2,／X，易知 OP：OB：2，OE= 1， OC = 4．
Y．N~uo，c= = 2， LPOC = L EOP， 所 以 ／X0CP ／x OPE．
从而 面 PC= =2， 即 Pc =2阳 ．
连结 ED，易知 ED是 AABC的中位线，所 以 2ED =BC =2 ．
从 而 PC +2PD =2(PE+肋 )≥ 2ED = 2,g，当点 P在线段 ED上时，等号成立．
即 PC+2PD的最小值是 24g． 例 5 如图 5，在 ／xABC中，
A =90。， AB =AC=4，点 D、E分别是 AB、AC的中点． 若 AADE绕点A逆时针旋转 ，得到 ／XAFG，记直 线 F与 CG的交点为P．连结PD、船 ，求PD+
6一 数学 教 学 2018年第 6期 船 的最小值． C G 图 5 解析：如图 5，在ABAF和ACAG中，因为 AB =AC，AF =AG， LBAF = 90。+ CAF = ／CAG，所 以 ABAF— t ． fa ACAG，从 而 ／_ABP = ACP． P C + PCB = (45。一 LABP) + (45。+LACP)=90。，所 以 LBPC =90。．
设 BC的 中点为 0，连结 PO，则 PO = ÷Bc=2√2．
点 P在以0为圆心、2 为半径的圆弧上． 连结 DE，则 DE=÷AB=2．
在射 线 OE 上 取 点 日，使 得 AOPE 一 oHP． 则 ：器：
，得OH：4，胁 ：
oH PH oP ’、⋯ PH．
肋 +4" 2PE =肋 +朋 ≥ DH， 当P在线段 DH上时，等号成立．
易知 DH = E +D =2 ，所 以 PD+ PE的最小值是 243． 例 6 如图6，点 P在边长为4的正方形 图 6 ABCD中，且 APBA=LPCB，点E在BC边上， BE =3EC，求 PA+2 P 的最小值．
解析 ：如图6，因为 P鲋 =LPCB，所以 PBC+LPCB=LPBC+LPBA=90。．因此 点 P在以BC为直径的圆在正方形 ABCD内的 圆弧上．
设 BC中点为 0，连结 PO，易知AO=2,3．
因为 BE =3EC，所 以 OE =1． 在 BC的延长线上 取点 G，使 AOGP oPE． 于是 ， = = ，得 DG=4，PE OP OE = J E’ 一 一PE’ l哥uu一 ’
一 2 ~--pG． 连结 AO，在 AO上取点 F，使 △OPF— A OAP． 因此 = = ，得 OF = ， PA = PF．
从而 PA +2 PE = (PF+PG)≥ FG，当点 P在线段 FG上时，等号成立． 作 朋 j- c于点日测 FH= = ， 得 FH=÷，DH= ．
因为 HG =0H +OG = ，所 以 FG = √F评 +HG =2 ． 即 PA+2,5PE的最小值等于√SFG=10．
例 7 已知 oD的半径为 a，圆外一点 A， OA = b．
(1)问题 发现 如图7(1)，过点A作o0的切线 AP，切点 为 P，过点 P作 PB J_OA于点 B．填空 ：
图 7(1)
2018年第 6期 数 学教 学 6一船 (i)OB= ；(ii) PB= (用含 a、b的代数式表示) (2)拓展探究 如图 7(2)，点 P是 6)0上任意一点 ，连结 PA、PO，在 OA上取点 ，使得 OPB = LA， 连结船 ．(1)中的结论还成立吗?请说明理由． 图 7(3) 解析：(1)(i
a，(ii)詈．
(2)成立．因为 OPB=LA，LPOB = LAOP，所 以 APOB— AAOP． 因此 PB = OB = OP， 即 PB ：
OB = a．从 2 a 而 OB = a， PB=
． (3)6 ，P(1(5—2-)，丢(5一 ))．
提示 ：如图 8，易知 C(2，3)．在 CB上取 点 D，使 CPD= CBP，则 APCD ABCP． ‘H CD CP PD 』 一 一 一
CP — CB — PB‘ 所 以 CD = 1，PB =2PD．
图 8 因此 D(3，3)，OD =3 ． 2PO+P =2(PO+肋 )≥20D=6]2， 当点 P在线段 OD上时，等号成立．此时 ，设点 P(m，m)．
由勾股定理 ，得 (2一m) +(3一m) ：
2 ，即 2m 一lOm +9：0． 解得m=÷(5—2 -)，另一解m=÷(5+ )，不符合要求舍去．
所以，此时有P(1(5—2 -)，
(5一 )1．
例 8 如图9，弧 AB和弧 CD以LMON的 顶点 0为圆心 ，端点在角的两条边上 ，动点 G、 日分别在两条弧上 ，且直线 GH经过顶点 0，点 E、F为 两 边 上 的定 点．若 LMON =45。， OA=4，OC =6，OE =8，OF =2 ，求 HE+2 FG的最小值． D R A C E M 图 9 解析：在 OM 边 上取点 R，使 AOEH — AOGR，则 HE = OH = OE． 因为 OG=OA=4，OH=OC=6，OE= 8，所 以 OR =3，HE =2GR．
6一, 34 ／K- " 3"教学 2018年第 6期 在 ON边上取点 s，使 AOFG AOGS，则 FG 0G OF FG 4 2,／2 GS — OS — OG’ GS — OS 一 4 ‘ 因此 OS=4 ，GF = GJ s． 则 HE+24" 2FG=2GR+2 ×等GS =2(GR+G| s)≥ 2RS，
当点 G在线段 RS上时，等号成立．
因为 ／MON=45。，所以R． s=~／l +4 = ． 即HE+24YFG的最小值为2 l7．
以上 各 例 涉 及 到 一 个 重 要 的几 何 问 题——阿波罗尼斯 圆．AB为平面内的定长线 段 ，尸为一个动点 ，满足 两 PA =A(A≠ 1)， 则点 P的轨迹是一个圆．这个圆直径的两端是按定 比A内分 AB和外分 AB所得的两个分点．如图 lO，M为 AB的内分点，』、r为 AB的外分点．若 A M= =A(A≠1)，则以删 为直径的 oD 就是动点 P的轨迹． 图 10 这是著名的阿波罗尼斯 (Apollonius)轨迹 定理．以 MN为直径的o0叫做阿波罗尼斯圆， 简称阿氏圆．阿氏圆有如下性质：
在线段 AB关于定 比A(A≠ 1)的阿氏圆 上任意一点 ，到A、B两点距离的比都等于定比 A．即若点 P在阿氏圆上，则 =A．此时，必有 J P 平分 ／_APB、PⅣ平分 ／ ___APB的外角． 阿氏圆的性质与阿波罗尼斯轨迹定理是 一 组互逆命题，其两大特征是：A M = = PA= = OP和 上 PⅣ．
、 曰、 、Ⅳ为以点 A、 为基点 ，点 M、 Ⅳ为内、外分点，A为分比的调和点列．
阿波罗尼斯定理为解决 +AP 的最小 值问题提供 了依据和方法，当我们遇到 + AP 型问题的时候，首先探寻动点 P的轨迹， 若点 P的轨迹是圆就把它作为阿氏圆，确定半 径 r和圆心 0．
若 OA =AOP，在直线 探究点 A ，使 AOPA AOA P测 = PA = ∽ ，则 A，得 APA ，所 以 PA+APB=A( +朋 )≥AA B； 若 OP =AOB，在直线 OB探究点 ，使 P AOPB AOB P测 = =÷：
∽ ，则 ，得船 ÷PB ，既＼ PA+ PB=PA+PB ≥AB r． 需注意的是，模型 PA+APB中的常数A的 值不是任意确定 的，它必须满足 =A或 OB= 1方可应用以上方法求解， 这种局 限性 更充分说明阿波罗尼斯轨迹定理的美妙之极．
参考文献 [1]陈明儒．构造三角形模型求解线段最 值难题[J]．中学数学杂志，2016(4)：44—45．
[2]李发勇．探究“a+硒 型”线段和最小 值问题[J]．中学数学教学 ，2017(3)：55—57．
[3]黄全福．利用阿波罗尼斯圆解竞赛题 [J]．中等数学，2010(2)：5—9．
篇九：两动一定最小值问题如何做辅助线学科网
数学：超容易出错的 61 个知识点集合数与式
易错点 1：有理数、无理数以及实数的有关概念理解错误，相反数、倒数、绝对值的意义概念混淆。以及绝对值与数的分类。每年选择必考。
易错点 2：实数的运算要掌握好与实数有关的概念、性质，灵活地运用各种运算律，关键是把好符号关；在较复杂的运算中，不注意运算顺序或者不合理使用运算律，从而使运算出现错误。
易错点 3：平方根、算术平方根、立方根的区别。填空题必考。
易错点 4：求分式值为零时学生易忽略分母不能为零。
易错点 5：分式运算时要注意运算法则和符号的变化。当分式的分子分母是多项式时要先因式分解，因式分解要分解到不能再分解为止，注意计算方法，不能去分母，把分式化为最简分式。填空题必考。
易错点 6：非负数的性质：几个非负数的和为 0，每个式子都为 0；整体代入法；完全平方式。
易错点 7：计算第一题必考。五个基本数的计算：0 指数，三角函数，绝对值，负指数，二次根式的化简。
易错点 8：科学记数法。精确度，有效数字。这个上海还没有考过，知道就好！
易错点 9：代入求值要使式子有意义。各种数式的计算方法要掌握，一定要注意计算顺序。
方程(组)与不等式(组)
易错点 1：各种方程（组）的解法要熟练掌握，方程（组）无解的意义是找不到等式成立的条件。
易错点 2：运用等式性质时，两边同除以一个数必须要注意不能为 0 的情况，还要关注解方程与方程组的基本思想。（消元降次）主要陷阱是消除了一个带 X 公因式要回头检验！
易错点 3：运用不等式的性质３时，容易忘记改不改变符号的方向而导致结果出错。
易错点 4：关于一元二次方程的取值范围的题目易忽视二次项系数不为 0 导致出错。
易错点 5：关于一元一次不等式组有解无解的条件易忽视相等的情况。
易错点 6：解分式方程时首要步骤去分母，分数相相当于括号，易忘记根检验，导致运算结果出错。
易错点 7：不等式（组）的解得问题要先确定解集，确定解集的方法运用数轴。
易错点 8：利用函数图象求不等式的解集和方程的解。
函数
易错点 1：各个待定系数表示的的意义。
易错点 2：熟练掌握各种函数解析式的求法，有几个的待定系数就要几个点值。
易错点 3：利用图像求不等式的解集和方程（组）的解，利用图像性质确定增减性。
易错点 4：两个变量利用函数模型解实际问题，注意区别方程、函数、不等式模型解决不等领域的问题。
易错点 5：利用函数图象进行分类（平行四边形、相似、直角三角形、等腰三角形）以及分类的求解方法。
易错点 6：与坐标轴交点坐标一定要会求。面积最大值的求解方法，距离之和的最小值的求解方法，距离之差最大值的求解方法。
易错点 7：数形结合思想方法的运用，还应注意结合图像性质解题。函数图象与图形结合学会从复杂图形分解为简单图形的方法，图形为图像提供数据或者图像为图形提供数据。
易错点 8：自变量的取值范围有：二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不为 0，0 指数底数不为 0，其它都是全体实数。
三角形
易错点 1：三角形的概念以及三角形的角平分线，中线，高线的特征与区别。
易错点 2：三角形三边之间的不等关系，注意其中的“任何两边”。最短距离的方法。
易错点 3：三角形的内角和，三角形的分类与三角形内外角性质，特别关注外角性质中的“不相邻”。
易错点 4：全等形，全等三角形及其性质，三角形全等判定。着重学会论证三角形全等，三角形相似与全等的综合运用以及线段相等是全等的特征，线段的倍分是相似的特征以及相似与三角函数的结合。边边角两个三角形不一定全等。
易错点 5：两个角相等和平行经常是相似的基本构成要素，以及相似三角形对应高之比等于相似比，对应线段成比例，面积之比等于相似比的平方。
易错点 6：等腰（等边）三角形的定义以及等腰（等边）三角形的判定与性质，运用等腰（等边）三角形的判定与性质解决有关计算与证明问题，这里需注意分类讨论思想的渗入。
易错点 7：运用勾股定理及其逆定理计算线段的长，证明线段的数量关系，解决与面积有关
的问题以及简单的实际问题。
易错点 8：将直角三角形，平面直角坐标系，函数，开放性问题，探索性问题结合在一起综合运用探究各种解题方法。
易错点 9：中点，中线，中位线，一半定理的归纳以及各自的性质。
易错点 10：直角三角形判定方法：三角形面积的确定与底上的高（特别是钝角三角形）。
易错点 11：三角函数的定义中对应线段的比经常出错以及特殊角的三角函数值。
四边形
易错点 1：平行四边形的性质和判定，如何灵活、恰当地应用。三角形的稳定性与四边形不稳定性。
易错点 2：平行四边形注意与三角形面积求法的区分。平行四边形与特殊平行四边形之间的转化关系。
易错点 3：运用平行四边形是中心对称图形，过对称中心的直线把它分成面积相等的两部分。对角线将四边形分成面积相等的四部分。
易错点 4：平行四边形中运用全等三角形和相似三角形的知识解题，突出转化思想的渗透。
易错点 5：矩形、菱形、正方形的概念、性质、判定及它们之间的关系，主要考查边长、对角线长、面积等的计算。矩形与正方形的折叠。
易错点 6：四边形中的翻折、平移、旋转、剪拼等动手操作性问题，掌握其中的不变与旋转一些性质。
易错点 7：梯形问题的主要做辅助线的方法
圆
易错点 1：对弧、弦、圆周角等概念理解不深刻，特别是弦所对的圆周角有两种情况要特别注意，两条弦之间的距离也要考虑两种情况。
易错点 2：对垂径定理的理解不够，不会正确添加辅助线运用直角三角形进行解题。
易错点 3：对切线的定义及性质理解不深，不能准确的利用切线的性质进行解题以及对切线的判定方法两种方法使用不熟练。
易错点 4：考查圆与圆的位置关系时，相切有内切和外切两种情况，包括相交也存在两圆圆心在公共弦同侧和异侧两种情况，学生很容易忽视其中的一种情况。
易错点 5：与圆有关的位置关系把握好 d 与 R 和 R+r，R-r 之间的关系以及应用上述的方法求解。
易错点 6：圆周角定理是重点，同弧（等弧）所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，90 度的圆周角所对的弦是直径，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
易错点 7：几个公式一定要牢记：三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆的面积公式，圆周长公式，弧长，扇形面积，圆锥的侧面积以及全面积以及弧长与底面周长，母线长与扇形的半径之间的转化关系。
对称图形
易错点 1：轴对称、轴对称图形，及中心对称、中心对称图形概念和性质把握不准。
易错点 2：图形的轴对称或旋转问题，要充分运用其性质解题，即运用图形的“不变性”，在轴对称和旋转中角的大小不变，线段的长短不变。
易错点 3：将轴对称与全等混淆，关于直线对称与关于轴对称混淆。
统计与概率
易错点 1：中位数、众数、平均数的有关概念理解不透彻，错求中位数、众数、平均数。
易错点 2：在从统计图获取信息时，一定要先判断统计图的准确性。不规则的统计图往往使人产生错觉，得到不准确的信息。
易错点 3：对普查与抽样调查的概念及它们的适用范围不清楚，造成错误。
易错点 4：极差、方差的概念理解不清晰，从而不能正确求出一组数据的极差、方差。
易错点 5：概率与频率的意义理解不清晰，不能正确的求出事件的概率。
易错点 6：平均数、加权平均数、方差公式，扇形统计图的圆心角与频率之间的关系，频数、频率、总数之间的关系。加权平均数的权可以是数据、比分、百分数还可以是概率（或频率）。
易错点 7：求概率的方法：
（1）简单事件。
（2）两步以及两步以上的简单事件求概率的方法：利用树状或者列表表示各种等可能的情况与事件的可能性的比值。
（3）复杂事件求概率的方法运用频率估算概率。
易错点 8：判断是否公平的方法运用概率是否相等，关注频率与概率的整合。
篇十：两动一定最小值问题如何做辅助线学科网
母题来源】2014 北京市--22 【母题原题】
阅读下面材料：
小腾遇到这样一个问题：
如图 1， 在ABC△中， 点 D 在线段 BC 上，75BAD ，30CAD ，2AD ，2BDDC， 求 AC 的长．
小腾发现， 过点 C 作 CEAB∥， 交 AD 的延长线于点 E ， 通过构造ACE△， 经过推理和计算能够使问题得到解决（如图 2）．
请回答：ACE的度数为
，AC 的长为
．
参考小腾思考问题的方法， 解决问题：[来源: 学科网] 如图 3， 在四边形 ABCD 中，90BAC ，30CAD ，75ADC ，AC 与 BD 交于点 E ，2AE ，2BEED， 求 BC 的长．
【变式一】
阅读材料：
如图（1）
在四边形 ABCD 中， 对角线 AC⊥BD， 垂足为 P.求证：
S 四边形ABCD=1AC BD.2
证明：
AC⊥BD→1,21.2ACDABCSAC PDSAC BP ∴S 四边形ABCD=S△ACD+S△ACB=11AC PDAC BP22 =11AC(PD PB)AC BD.22
解答问题：
（1）
上述证明得到的性质可叙述为______________________________________________________[来源:Zxxk.Com] ___________________________________________________________________________________________.
（2）已知：
如图 （7）， 等腰梯形 ABCD 中， AD∥BC， 对角线 AC⊥BD 且相交于点 P， AD=3cm,BC=7cm，利用上述的性质求梯形的面积.
【变式二】
阅读以下短文， 然后解决下列问题：
如果一个三角形和一个矩形满足条件：
三角形的一边与矩形的一边重合， 且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上， 则称这样的矩形为三角形的“友好矩形” .
如图 8①所示， 矩形 ABEF 即为△ABC 的
“友好矩形” .
显然， 当△ABC 是钝角三角形时， 其“友好矩形” 只有一个 .
(1)
仿照以上叙述， 说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；
(2)
如图 8②， 若△ABC 为直角三角形， 且∠C=90°， 在图 8②中画出△ABC 的所有“友好矩形”， 并比较这些矩形面积的大小；
(3)
若△ABC 是锐角三角形， 且 BC>AC>AB， 在图 8③中画出△ ABC 的所有“友好矩形”， 指出其中周长最小的矩形并加以证明.
1. 【2014 年初中毕业升学考试（湖南常德卷）
数学】
阅读理解：
如图 1， 在平面内选一定点 O， 引一条有方向 的射线 Ox， 再选定一个单位长度， 那么平面上任一点 M 的位置可由∠MOx 的度数 θ 与 OM 的长度 m 确定， 有序数对（θ ， m）
称为 M 点的“极坐标” ， 这样建立的坐标系称为“极坐标系” ．
应用：
在图 2 的极坐标系下， 如果正六边形的边长为 2， 有一边 OA 在射线 Ox 上， 则正六边形的顶点 C 的极坐标应记为（
）
A． （60° ， 4）
B． （45° ， 4）
C． （60° ， 2 2
）
D． （50° ， 2 2
）
2. 【2014 年初中毕业升学考试（山东济宁卷）
数学】
阅读材料：
已知， 如图（1）， 在面积为 S 的 △ABC 中，
BC=a, AC=b,
AB=c, 内切圆 O 的半径为 r. 连接 OA、 OB、 OC， △ABC被划分为三个小三角形．[来源:Zxxk. Com] ∵ 1111(2)222OBCOACOABSSSSBC rAC rAB rabc r .
∴2Srabc ．
（1）
类比推理：
若面积为 S 的四边形 ABCD 存在内切圆（与各边都相切的圆）， 如图 （2）， 各边长分别为 AB=a，BC=b， CD=c， AD=d， 求四边形的内切圆半径 r；
（2）
理解应用：
如图(3) ， 在等腰梯形 ABCD 中， AB∥DC， AB=21， CD=11， AD=13， ⊙O1与⊙O2分别为△ABD与△BCD 的内切圆， 设它们的半径分别为 r1和 r2， 求21rr的值.
3. 【组卷网合作校特供】
阅读理解 如图 1， △ABC 中， 沿∠BAC 的平分线 AB1折叠， 剪掉重复部分； 将余下部分沿∠B1A1C 的平分线 A1B2折叠，剪掉重复部分； …； 将余下部分沿∠BnAnC 的平分线 AnBn+1折叠， 点 Bn与点 C 重合， 无论折叠多少次， 只要最后一次恰好重合， ∠BAC 是△ABC 的好角．
小丽展示了确定∠BAC 是△ABC 的好角的两种情形． 情形一：
如图 2， 沿等腰三角形 ABC 顶角∠BAC 的平分线 AB1折叠， 点 B 与点 C 重合； 情形二：
如图 3， 沿∠BAC 的平分线 AB1折叠， 剪掉重复部分； 将余下部分沿∠B1A1C 的平分线 A1B2折叠， 此时点 B1与点 C 重合．
探究发现
（1）
△ABC 中， ∠B=2∠C， 经过两次折叠， ∠BAC 是不是△ABC 的好角？
（填“是” 或“不是” ）．
（2）
小丽经过三次折叠发现了∠BAC 是△ABC 的好角， 请探究∠B 与∠C（不妨设∠B＞∠C）
之间的等量关系． 根据以上内容猜想：
若经过 n 次折叠∠BAC 是△ABC 的好角， 则∠B 与∠C（不妨设∠B＞∠C）
之间的等量关系为
．
应用提升 （3）
小丽找到一个三角形， 三个角分别为 15° 、 60° 、 105° ， 发现 60° 和 105° 的两个角都是此三角形的好角．
请你完成， 如果一个三角形的最小角是 4° ， 试求出三角形另外两个角的度数， 使该三角形的三个角均是此三角形的好角．
[来源: 学. 科. 网 Z. X. X. K] 4. 【2014 年初中毕业升学考试（四川成都卷）
数学】
在边长为 1 的小正方形组成的 方格纸中， 称小正方形的顶点为“格点” ， 顶点全在格点上的多边形为“格点多边形” . 格点多边形的面积记为 S， 其内部的格点数记为 N， 边界上的格点数记为 L， 例如， 图中的三角形 ABC 是格点三角形， 其中 S=2， N=0， L=6； 图中格点多边形 DEFGHI 所对应的 S， N， L 分别是
_. 经探究发现， 任意格点多边形的面积 S 可表示为S=aN+bL+c， 其中 a， b， c 为常数， 则当 N=5， L=14 时， S=
. （用 数值作答）
5. 【2014 年初中毕业升学考试（江苏镇江卷）
数学】
我们知道平行四边形有很多性质.
现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折， 会发现这其中还有更多的结论.
【发现与证明】
ABCD 中， AB≠BC， 将△ABC 沿 AC 翻折至△AB′ C， 连结 B′ D.
结论 1：
B′ D∥AC；
结论 2：
△AB′ C 与ABCD 重叠部分的图形是等腰三角形.[来源:Z| xx| k. Com]
…… 请利用图 1 证明结论 1 或结论 2（只需证明一个结论）
.
【应用与探究】
在ABCD 中， 已知∠B=30° ， 将△ABC 沿 AC 翻折至△AB′ C， 连结 B′ D.
（1）
如图 1， 若0AB DB,5A73 ， 则∠ACB=
° ， BC=
；
（2）
如图 2， AB2 3， BC=1， AB′ 与边 CD 相交于点 E， 求△AEC 的面积；
（3）
已知 AB2 3， 当 BC 长为多少时， 是△AB′ D 直角三角形？
6. 【2014 年初中毕业升学考试（浙江舟山卷）
数学】
类比梯形的定义， 我们定义：
有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形” ．
（1）
已知：
如图 1， 四边形 ABCD 是“等对角四 边形” ， ∠A≠∠C， ∠A＝70° ， ∠B＝80° ． 求∠C， ∠D的度数．
（2）
在探究“等对角四边形” 性质时：
①小红画了一个“等对角四边形” ABCD(如图 2) ， 其中∠ABC＝∠ADC， AB＝AD， 此时她发现 CB＝CD 成立． 请你证明此结论；
②由此小红猜想：
“对于任意‘等对角四边形’ ， 当一组邻边相等时， 另一组邻边也相等” ． 你认为她的猜想正确吗?若正确， 请证明； 若不正确， 请举出反例．
（3）
已知：
在“等对角四边形"ABCD 中， ∠DAB＝60° ， ∠ABC=90° ， AB＝5， AD＝4． 求对角线 AC 的长．
7. 【2014 届北京市丰台区中考二模数学卷】
阅读下列材料：
已知：
如图 1， 在 RtABC 中， ∠C=90°， AC=4， BC=3， P 为 AC 边上的一动点， 以 PB， PA 为边构造□APBQ，求对角线 PQ 的最小值及此时APAC的值是多少．
在解决这个问题时， 小明联想到在学习平行线间的距离时所了解的知识：
端点分别在两条平行线上的所有线段中， 垂直于平行线的线段最短． 进而， 小明构造出了如图 2 的辅助线， 并求得 PQ 的最小值为 3． 参考小明的做法， 解决以下问题：
（1）
继续完成阅读材料中的问题：
当 PQ 的长度最小时，APAC=
；
（2）
如图 3， 延长 PA 到点 E， 使 AE=nPA（n 为大于 0 的常数）． 以 PE， PB 为边作□PBQE， 那么对角线PQ 的最小值为
， 此时APAC=
；
（3）
如图 4， 如果 P 为 AB 边上的一动点， 延长 PA 到点 E， 使 AE=nPA（n 为大于 0 的常数）， 以 PE， PC为边作□PCQE， 那么对角线 PQ 的最小值为
， 此时APAC=
．
8. 【2014 年北京市房山区中考一模数学试卷】
阅读下列材料：
小明遇到这样一个问题：
已知：
在△ABC 中， AB, BC, AC 三边的长分别为10135
、、， 求△ABC 的面积．
小明是这样解决问题的：
如图 1 所示， 先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为 1）
， 再在网格中画出格点△ABC（即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处）
， 从而借助网格就能计算出△ABC 的面积． 他把这种解决问题的方法称为构图法．
请回答：
（1）
图 1 中△ABC 的面积为
；
参考小明解决问题的方法， 完成下列问题：
（2）
图 2 是一个 6×6 的正方形网格(每个小 正方形的边长为 1)
．
①利用构图法在答题卡的图 2 中画出三边长分别为2 52913
、、的格点△DEF；
②计算△DEF 的面积为
．
（3）
如图 3， 已知△PQR， 以 PQ， PR 为边向外作正方形 PQAF， PRDE， 连接 EF． 若PQ2 2,PR13，QR17 , 则六边形 AQRDEF 的面积为__________．
9. 【2013-2014 学年江苏无锡市锡山高级中学八年级下学期期中考试数学卷】
阅读理解：
一张矩形纸片， 剪下一个正方形， 剩下一个矩形， 称为第一次操作； 在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形， 剩下一个矩形，
称为第二次操作； …； 若在第 n 次操作后， 剩下的矩形为正方形， 则称原矩形为 n 阶奇异矩形． 如图 1， 矩形 ABCD 中， 若 AB=3， BC=9， 则称矩形 ABCD 为 2 阶奇异矩形．
（ 1）
判断与操作：
如图 2， 矩形 ABCD 长为 7， 宽为 3， 它是奇异矩形吗？ 如果是， 请写出它是几阶奇异矩形， 并在图中画出裁剪线； 如果不是， 请说明理由．
（2）
探究与计算：
已知矩形 ABCD 的一边长为 20， 另一边长为 a（a＜20）， 且它是 3 阶奇异矩形， 请画出矩形 ABCD 及裁剪线的示意图， 并在图的下方写出 a 的值．
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