一定两动求最小值8篇

时间：2022-09-07 08:40:04 来源：网友投稿

一定两动求最小值8篇一定两动求最小值　初中常见动点问题解题方法　引言　以运动的观点探究几何图形部分规律的问题，称之为动态几何问题.动态几何问题充分体现了数学中的&ldquo下面是小编为大家整理的一定两动求最小值8篇,供大家参考。

一定两动求最小值8篇

篇一：一定两动求最小值

常见动点问题解题方法

　引言

　以运动的观点探究几何图形部分规律的问题，称之为动态几何问题.动态几何问题充分体现了数学中的“变”与“不变”的和谐统一，其特点是图形中的某些元素（点、线段、角等）或某部分几何图形按一定的规律运动变化，从而又引起了其它一些元素的数量、位置关系、图形重叠部分的面积或某部分图形等发生变化，但是图形的一些元素数量和关系在运动变化的过程中却互相依存，具有一定的规律可寻.

　常见的动点问题

　一、求最值问题

　二、动点构成特殊图形问题

　一、求最值问题

　初中利用轴对称性质实现“搬点移线”求几何图形中一些线段和最小值问题。利用轴对称的性质解决几何图形中的最值问题借助的主要基本定理有三个：

　（1）两点之间线段最短；

　（2）三角形两边之和大于第三边；

　（3）垂线段最短。

　求线段和最小值问题可以归结为：一个动点的最值问题，两个动点的最值问题。

　一、求最值问题

　例、如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形内，在对角线AC上有一动点P，使PD+PE的值最小，则其最小值是 ______

　一个动点特点：

　已知两个定点位于一条直线的同一侧，在直线上确定一

　动点的位置，使动点与两定点线段和最小，求出最小值。

　思路：

　解决这类题目的方法是找出其中一定点关于直线的对称点，

　连结这个对称点与另一定点，交直线于一点，交点即为动点

　满足最值的位置。

　考题中，经常利用本身就具有对称性质的图形，比如等腰三角形，等

　边三角形、正方形、圆、二次函数、直角梯形等图形，即其中一个定点的对称

　点就在这个图形上。

　3 2p

　练习 1、如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线， F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（）

　A．15°

　B.22.5°

　C.30°

　 D. 45°

　 2、如图，在直角梯形中，AD∥BC，AB⊥BC,AD=2，

　 BC=DC=5，点P在BC上移动，当PA+PD取得最小值时，△APD中AP边上的高为 _________

　 3、如图，⊙O的半径为2，点A、B、C 在⊙O上，OA⊥OB, ∠AOC=60°，P是OB上的一动点，则PA+PC的最小值是________

　两个动点（一）

　特点：已知一个定点位于平面内两相交直线之间，

　分别在两直线上确定两个动点使线段和最小。

　思路：这类问题通过做这一定点关于两条线的对称

　点，实现“搬点移线”，把线段“移”到同

　一直线上来解决。

　例、如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值是__________

　。

　RQPOB A "P"PE F 例、如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值是__________

　。

　解析：

　" P " P 连接与OB，OA的交点即为R、Q 过OB作P的对称点 " P连接 O " P， O " P" P过OA作P的对称点 90° ° " P " P ∴△PQR周长的最小值= = 2 10O " P = O " POP= " P " P由对称性知：

　PR+PQ+RQ= " P " P∠ O = =10 ｛

　练习 1. 如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP=2，点E、F分别是OA、OB 上的动点，若△PEF周长的最小值等于2，则α=（）

　A．30°

　B.45°

　 C.60°

　D.90°

　 2. 如图，∠AOB=30°，内有一点P且OP=2，若M、N为边OA、OB上两动点，那么△PMN 的周长最小为（）

　A．2√6

　B.6

　C. √6/2

　 D. √6

　两个动点（二）

　特点：两动点在两条直线上，定点和其中一个动点共

　线，求不共线动点分别到定点和另一动点的距

　离和最小值。

　。

　思路：（1 1 ）利用轴对称变换，使不共线动点在另一动

　点的对称点与定点的连线段上（两点之间线段

　最短）

　例

　、如图，在锐角△ABC中AB=4√2,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD、AB上的动点，则BM+MN的最小值是 ________ （ 2 2 ）这条线段垂直于另一动点的对称点所在直线时，两线段和最小，最小值等于这条垂线段的长。

　例

　、如图，在锐角△ABC中，AB=4√2,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD、AB上的动点，则BM+MN的最小值是 ________ C D M B N A "NC B D "NM N A 解析：

　作点N关于AD的对称点 "N此时BM＋MN＝BM＋M "N要使BM＋M

　"N 最小则要满足：① B，M，三点共线 "NBM+MN的最小值＝ B

　=AB ∴ ÷ ４

　②B 垂直于 AC "N"N

　练习

　 1. 如图，在△ABC中，∠C=90°，CB=CA=4， ∠A的平分线交BC于点D，若点P、Q分别是AC 和AD上的动点，则CQ+PQ的最小值是____________

　 2. 在锐角三角形ABC中，AB=4，∠BAC=60°， ∠BAC的平分线BC于D，M、N分别是AD与AB 上动点，则BM+MN的最小值是 _________ ．

　小结

　以“搬点移线”为主要方法，利用轴对称性质求解决几何图形中一些线段和最小值问题。如何实现“搬点移线” （1）确定被“搬”的点（2）确定被“移”的线

　二、动点构成特殊图形

　问题背景是特殊图形,考查问题也是特殊图形,所以要把握好一般与特殊的关系;分析过程中,特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置).分析图形变化过程中变量和其他量之间的关系，或是找到变化中的不变量，建立方程或函数关系解决。

　A B C D

　如图：梯形ABCD中，AD//BC， AD=9cm,BC=6cm，点P从点A出发，沿着AD的方向向终点D以每秒一个单位的速度运动，当点P在AD上运动时，设运动时间为t，求当t为何值时，四边形APCB为平行四边形.

　P 问题导入 A B C D P 解析 6 t ∵四边形APCB为平行四边形 ∴

　 AP=6

　t=6

　动点构成特殊图形解题方法

　4、根据所求,利用特殊图形的性质或相互关系，

　找出等量关系列出方程来解决动点问题

　 2、先确定特定图形中动点的位置,画出符合题意

　的图形——— 化动为静 3、根据已知条件，将动点的移动距离以及解决

　问题时所需要的条件用含t的代数式表示出来

　1、把握运动变化的形式及过程;思考运动初始状

　态时几何元素的关系，以及可求出的量

　如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5

　，∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）.过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF. （1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由. （3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.

　3例题讲解

　（1）求证：AE=DF

　解析：

　 A EDFt 2t t C B 又∵AE=t，∴AE=DF。

　在△DFC中， ∵∠DFC=90 o o ，∠C= 30 o o ， DC=2t, ∴DF=t

　30 o o

　1单位 / s 2单位 / s 5 30 o o

　（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由. A EDFt 2t t C B 解析：

　能，理由如下， ∵AB⊥BC，DF⊥BC， ∴四边形AEFD为平行四边形。

　由（1）知AE=DF ∴AE

　 DF 在Rt△ABC中，设AB=x,

　则AC=2x, ∵

　解得x= 5 ,即AB= 5 ,AC=10.

　∴若使平行四边形AEFD为菱形，则须AD=AE，即t= 10

　-2t,

　即当t=

　时，四边形AEFD为菱形。

　30 o o

　1单位 / s 2单位 / s 5 30 o o

　331031010- - 2t

　2 2 2AB BC AC     2225 3 2 X X  ∴ ∥

　（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由. A EDFt 2t C B

　若∠EDF=90 o 时，则四边形EBFD为矩形

　30 o o

　10- - 2t

　解析在Rt△AED中， ∵∠ADE=∠C=30 o ,

　∴AD=2AE 即10-2t=2t,t= 30 o o

　①当∠EDF=90 o 时 1单位 / s 2单位 / s 5 30 o o

　即10-2t=

　t （3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由. A EDFt 2t C B ②当∠DEF=90 o 时解析：

　由（2）知EF∥AD ∴∠ADE=∠DEF=90 o

　∵∠A=90 o -∠C=60 o

　∴AD=

　 AE 2121则t=4 10- - 2t

　30 o o

　60 o o

　1单位 / s 2单位 / s 5 30 o o

　F（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由. ③当∠EFD=90 o 时, 此种情况不存在。

　解析：

　1单位/ s 2单位/ s 5 30 o o

　综上所述，当t= 25或t=4时△DEF为直角三角形 A EDC B 30 o o

　在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

　小结

篇二：一定两动求最小值

函数在闭区间上的最值问题 1 PPT课件

　练习：已知函数 f(x)= x 2 – 2x –

　3 3

　（1 1 ）若 x∈[ [–2 2 ， 0] ，求函数 f(x) 的最值；

　（2 2 ）若 x∈ [ 2 ， 4 ] ，求函数 f(x) 的最值；

　（3 3 ）若 x∈ [

　] ，求函数 f(x) 的最值；

　 25,2123,21 （4 4 ）若 x∈[

　] ，求函数 f(x) 的最值；

　2 PPT课件

　练习：

　已知函数f(x)= x 2 –2x –3. （（1 ）若x ∈[ –2 ，0 ],

　求函数f(x) 的最值；解：画出函数在定义域内的图像如图对称轴为直线x=1 由图知，y=f(x) 在[ –2 ，0 ] 上为减函数

　故故x=-2 时有最大值f(-2)=5

　x=0 时有最小值f(0)=-3 10864224681015 10 5 5 10 150-2x=1y = x 2

　 2∙x

　3y = x 2

　 2∙x

　33 PPT课件

　例例1 、已知函数f(x)= x 2 –2x – 3. （（1 ）若x ∈[ –2 ，0 ] ，求函数f(x) 的最值；（（2 ）若x ∈[ 2 ，4 ] ，求函数f(x) 的最值；解：画出函数在定义域内的图像如图对称轴为直线x=1 由图知，y=f(x) 在[ 2 ，4 ] 上为增函数

　故故x=4 时有最大值f(4)=5

　x=2 时有最小值f(2)=-3 10864224681010 5 5 10 15x=142y = x 2

　 2∙x

　3y = x 2

　 2∙x

　34 PPT课件

　例1 1 、已知函数 f(x)= x 2 – 2x –

　（1 1 ）若 x∈ [ –2 2 ， 0] ，求函数 f(x) 的最值；

　（2 2 ）若 x∈ [ 2 ， 4] ，求函数 f(x) 的最值；

　（（3 ）若x ∈[

　 ], 求函数f(x) 的最值； 25,21解：画出函数在定义域内的图像如图对称轴为直线x=1, 由图知， x=

　时有最大值

　 x=1 时有最小值f(1)=-4 525 3( ) 12 4f  10864224681010 5 5 10 15x=15212y = x 2

　 2∙x

　3y = x 2

　 2∙x

　35 PPT课件

　例1 1 、已知函数 f(x)= x 2 – 2x –

　3 3

　（1 1 ）若 x∈[ [–2 2 ， 0] ，求函数 f(x) 的最值；

　（2 2 ）若 x∈ [ 2 ， 4 ] ，求函数 f(x) 的最值；

　（3 3 ）若 x∈ [

　] ，求函数 f(x) 的最值；

　 25,2123,21 （4 4 ）若 x∈[

　] ，求函数 f(x) 的最值；

　解：画出函数在定义域内的图像如图对称轴为直线x=1, 由图知， x=

　时有最大值

　x=1 时有最小值f(1)=-4 121 3( ) 12 4f  10864224681015 10 5 5 10 15x=132-12y = x 2

　 2∙x

　3y = x 2

　 2∙x

　36 PPT课件

　例1 1 、已知函数 f(x)= x 2 – 2x –

　3 3

　25,2123,21

　（（4 4 ）

　x∈ [

　] （（1 ）x ∈[–2 ，0] （2 ）x ∈[ 2 ，4 ] （3 ）x∈ ∈ [

　] 10864224681015 10 5 5 10 150-2x=1y = x 2

　 2∙x

　3y = x 2

　 2∙x

　310864224681010 5 5 10 15x=142y = x 2

　 2∙x

　3y = x 2

　 2∙x

　310864224681010 5 5 10 15x=15212y = x 2

　 2∙x

　3y = x 2

　 2∙x

　310864224681015 10 5 5 10 15x=132-12y = x 2

　 2∙x

　3y = x 2

　 2∙x

　3思考：通过以上几题，你发现二次函数在区间[m ，n]上的最值通常在哪里取到？ 7 PPT课件

　总结：求二次函数 f(x)=ax 2 2 +bx+c 在 [m ， n] 上

　上的最值或值域的一般方法是：

　（2 2 ）当x x 0 0 ∈[m ， n] 时， f(m) 、 f(n) 、 f(x 0 0 ）

　中的较大者是最大值, , 较小者是最小值；

　（（1 ）检查x 0 =

　是否属于 [ m ，n] ； ab2（3 3 ）当x x 0 0

　 [m ， n] 时， f(m) 、 f(n) 中的较大

　者是最大值，较小者是最小值. .

　8 PPT课件

　考点二

　二次函数的图象与性质( 高频考点)

　数已知函数 f(x) ＝x 2 ＋＋2ax ＋2 ，x ∈[ －5,5] ． (1) 当 a ＝－1 时，求函数的最大值和最小值； (2) 求实数 a 的取值范围，使 y ＝f(x) 在区间[ －5,5]．上是单调函数． [ 解]

　(1) 当 a ＝－1 时，f(x) ＝x 2 －－2x ＋2 ，其对称轴为 x ＝1 ，以所以 f(x) min ＝＝f(1) ＝1 ，f(x) max ＝＝f( －5) ＝37. (2) 对称轴为 x ＝－a ，当－a≤ ≤－－5 或－a ≥5 时， f(x) 在[ －5,5] 上单调．所以 a ≥5 或或 a≤ ≤－－5. 数故满足条件的实数 a 的取值范围是(－－ ∞ ，－5] ∪[5 ，＋∞ ∞)．．

　9 PPT课件

　练习求函数y=x 2 +2x+3

　在x

　[-2,2]时的最值？

　10 PPT课件

　二次函数在闭区间上的最值问题

　动轴定区间、动区间定轴 11 PPT课件

　2.(1) 若 f(x) ＝x 2 －－x ＋a ，f( －m) ＜0 ，则 f(m ＋1)的的值值(

　) A ．正数

　 B ．负数 C ．非负数

　 D ．与 m 有关 (2) 已知 2x 2 ≤ ≤3x ，则函数 f(x) ＝x 2 ＋＋x ＋1 的最大值为________．． (3) 已知函数 f(x) ＝－x 2 ＋＋2ax ＋1 －a 在 x ∈[0,1] 时有最大值 2，，求求 a 的值． (4) 已知函数 f(x) ＝－4x 2 ＋＋4ax －4a －a 2 在区间[0,1] 内有一个最大值－5 ，求 a 的值． 194 B 12 PPT课件

　思考：

　如何求函数y=x 2 -2x-3在在x ∈[k,k+2] 时的最值? 解析:

　因为函数 y=x 2 -2x-3=(x-1) 2 -4 的对称

　轴为 x=1 固定不变, 要求函数的最值,

　即要看区间[k,k+2] 与对称轴 x=1 的位

　置, 则从以下几个方面解决如图: 13 PPT课件

　10864224681015 10 5 5 10 15x=1k+2 ky = x 2

　 2∙x

　3y = x 2

　 2∙x

　310864224681015 10 5 5 10 15x=1k+2 ky = x 2

　 2∙x

　3y = x 2

　 2∙x

　310864224681015 10 5 5 10 15x=1k+2ky = x 2

　 2∙x

　3y = x 2

　 2∙x

　310864224681015 10 5 5 10 15x=1k+2ky = x 2

　 2∙x

　3y = x 2

　 2∙x

　3 例例:

　求函数y=x 2 -2x-3 在x ∈[k,k+2]时时的最值 14 PPT课件

　当k+2≤1 即k ≤-1 时

　 f(x) min =f(k+2)= （k+2) 2 -2(k+2)-3

　 =k 2 +2k-3 f(x) max =f(k)=k 2 -2k-3 10864224681015 10 5 5 10 15x=1k+2ky = x 2

　 2∙x

　3y = x 2

　 2∙x

　315 PPT课件

　当 k ＜1 ＜ k+2

　时即-1 ＜k ＜1 时 f(x) min =f(1)=- 4 当当f(k)>f(k+2) 时，即即k 2 -2k-3 > k 2 +2k-3

　即-1<k<0 时 f(x) max =f(k)=k 2 -2k-3 当当f(k) ≤f(k+2) 时，即即k 2 -2k-3 ≤ k 2 +2k-3 即0≤

　k<1 时 f(x) max =f(k+2)= （k+2) 2 -2(k+2)-3

　=k 2 +2k-3 10864224681015 10 5 5 10 15x=1k+2 ky = x 2

　 2∙x

　3y = x 2

　 2∙x

　310864224681015 10 5 5 10 15x=1k+2 ky = x 2

　 2∙x

　3y = x 2

　 2∙x

　316 PPT课件

　当k ≥1

　时

　f(x) max =f(k+2)=k 2 +2k-3 f(x) min =f(k)=k 2 -2k-3 10864224681015 10 5 5 10 15x=1k+2ky = x 2

　 2∙x

　3y = x 2

　 2∙x

　317 PPT课件

　例例:

　求函数y=x 2 -2x-3 在x ∈[k,k+2] 时的最值

　当当k ≤-1时时

　当当-1<k <0时时

　f(x) max =f(k)=k 2 -2k-3 当当0≤ k<1 时 f(x) max =f(k+2)=k 2 +2k-3 f(x) min =f(1)=- 4 f(x) min =f(1)=- 4 f(x) min =f(k+2)=k 2 +2k-3 f(x) max =f(k)=k 2 -2k-3

　当k ≥1

　时

　f(x) max =f(k+2)=k 2 +2k-3 f(x) min =f(k)=k 2 -2k-3 10864224681015 10 5 5 10 15x=1k+2ky = x 2

　 2∙x

　3y = x 2

　 2∙x

　310864224681015 10 5 5 10 15x=1k+2 ky = x 2

　 2∙x

　3y = x 2

　 2∙x

　310864224681015 10 5 5 10 15x=1k+2 ky = x 2

　 2∙x

　3y = x 2

　 2∙x

　310864224681015 10 5 5 10 15x=1k+2ky = x 2

　 2∙x

　3y = x 2

　 2∙x

　318 PPT课件

　例例:

　求函数y=x 2 -2x-3 在x ∈[k,k+2] 时的最值评注：

　例1 1 属于 “ 轴定区间动 ” 的问题，看作动区间沿x x 轴移动的过程中，函数最值的变化，即动区间在定轴的左、右两侧及包含定轴的变化，要注意开口方向及端点情况。

　10864224681015 10 5 5 10 15x=1k+2ky = x 2

　 2∙x

　3y = x 2

　 2∙x

　310864224681015 10 5 5 10 15x=1k+2 ky = x 2

　 2∙x

　3y = x 2

　 2∙x

　310864224681015 10 5 5 10 15x=1k+2 ky = x 2

　 2∙x

　3y = x 2

　 2∙x

　310864224681015 10 5 5 10 15x=1k+2ky = x 2

　 2∙x

　3y = x 2

　 2∙x

　319 PPT课件

　练习：若x ∈

　，求函数

　y =x 2 +ax+3 的最小值：

　    1 1       x xO 1 x y -1 20 PPT课件

　练习：若x ∈

　，求函数

　y =x 2 +ax+3 的最小值：

　    1 1       x x-1 1 O x y 21 PPT课件

　练习：若x ∈

　，求函数

　y =x 2 +ax+3 的最小值：

　    1 1       x x-1 1 O x y 22 PPT课件

　练习：若x ∈

　，求函数

　y =x 2 +ax+3 的最小值：

　    1 1       x xO x y 1 -1 O x y 1 -1 O x y 1 -1 当当a<-2 时 f(x) min =f(1)=4+a 当当-2 ≤ a<2 时 2min32 4a af f      当当a≥2 时 f(x) min =f(-1)=4-a 26 PPT课件

　练习：若x ∈

　，求函数

　y =x 2 +ax+3 的最小值：

　    1 1       x xO x y 1 -1 O x y 1 -1 O x y 1 -1 评注：

　此题属于 “ 轴动区间定 ” 的问题，看作对称轴沿x x 轴移动的过程中, , 函数最值的变化, , 即对称轴在定区间的左、右两侧及对称轴在定区间上变化情况, , 要注意开口方向及端点情况。

　27 PPT课件

　2 练习: : 已知x x 2 2 +2x+a ≥4 在x x ∈

　[0 ， 2] 上恒成立，求a a 的值。

　-1 O x y 解: : 令 f(x)=x 2 2 +2x+a

　它的对称轴为 x= －1 1 ，

　∴f(x) 在 [0 ， 2] 上单调递增，

　∴f(x) 的最小值为f(0)=a ，即a a ≥

　4 4

　28 PPT课件

　课堂小结

　1.闭区间上的二次函数的最值问题求

　法

　2. 含参数的二次函数最值问题：

　轴动区间定

　轴定区间动

　核心：

　区间与对称轴的相对位置注意数形结合和分类讨论 29 PPT课件

　1. 已知y= － x 2 +ax+3 ，x ∈[ －1,1] ，

　求y 的最大值

　练一练已知函数

　当

　时，求函数的最大值. 2 2 - ) (2 2+ + = a ax x x f  3 , 1  x2 、 30 PPT课件

篇三：一定两动求最小值

mdash;3l D 数学数学 2018年第 6期圆上动点到两定点距离线性和的最小值问题于学明李世臣 (1．河南省商水县希望中学，河南商水 466100； 2．河南省周口市川汇区教体局教研室，河南周口 466001) 设动点 P和两定点 A、B，我们不妨称 PA+AP日为点P到两定点A、B距离的线性和．

　当A=1，P点在一条定直线上移动时，两定点A、在这条定直线的同侧，求PA+P 的最小值问题是典型的将军饮马问题，通常利用对称变换，将同侧化异侧，然后利用“两点间线段最短”原理进行判断．

　当 A≠1，P点在一个确定的圆弧上移动时，两定点A、B同在这个定圆的内部或外部，怎样求 PA+APB的最小值呢?研究发现，可通过构造相似三角形，利用线段比实现不等系数线段和向相等系数线段和的转化，把同在圆内或圆外的两定点转化为一个圆内定点和一个圆外定点，然后应用线段最短原理解决问题．

　例 l 如图 1，线段 AB的两端点分别在两条坐标轴的正半轴上滑动，中点为 M，若 AB = 8，C(8，0)，D(5，4)，则 CM +2MD的最小值为 — —．解析：连结OM，因为 ZAOB：9oo，AM = ， AB =8，所以OM =4，点M的轨迹是以原点 0 为圆心，半径长为4的圆在第一象限内的圆弧．

　在线段 OC上取点 E，使得／OME ：

　／OCM，则 AOME— AOCM．

　图 1 所以 = = ．又因为 OC =8， OM =4，所以 OE =2，MC =2ME．

　因此 E(2，O)，CM +2MD = 2(ME + MD)≥ 2DE，当点在线段 DE上时，等号成立．因为 DE = √(5—2) +4 =5，所以 CM +2MD的最小值为 l0．

　例 2 如图2，在矩形 ABCD中，AB =6， BC=8，以点 B为圆心、BC为半径画圆弧，交 BA的延长线于点 E，点 P在弧 EC上，连结 PA， PD．

　、尸 — —

　7 ～，／ D 图 2 求 5PA+3PD的最小值．

　解析：连结 P日、BD，则 P曰：

　8，BD = 10．

　在线段 BD 上取点，，使得 LBPF = ／ _．_BDP，连结 PF，则 ABPF ABDP．

　因为嚣=器= ，所以 = ，

　PD = pF．河南省2017年农村学校应用性教育科研课题《基于Geogebra软件的数学教学实验研究》(项目编号：17一HJYY 525)阶段性研究成果．

　2018年第 6期数学教学 6—3l 在线段 BE 的延长线上取点 G，使得 LBPG=／_BAP，连结PG，则 ABPG △ 因为 BG=B 丽P= PG，所以曰G=了32， =

　G．

　N~spa+3PD=竽(PF+pc)≥竽GF，

　当 G、P、F三点共线时，等号成立． ig~ CF，因为 =了3 =历 CD，LFBG = LCDB，所以／XBFG一／XDCB．

　于是 FG = DCB =90o．故 128 —

　15’

　9~ SPA+3PD≥ 15×百 128=32．即，5PA+3PD的最小值是 32．例 3 如图3，半圆oD的直径 AB =4，点 C在半圆弧上移动，AC：AD， CAD=90。，连结 DO、DB，求 DB+ DD的最小值．

　图 3 解析：连结 CD，延长 CD交QO于点 E，连结 EO．

　因为 AC =AD， CAD =90。，所以 LACD= ADC=45。．因此 LAOE =90。，LADE =135。．

　以AO、OE为边，作正方形 AOEF，则点 D 在以点 F为圆心，半径为 2的圆弧上运动．

　连结船，则FB=√ +A =2 ．

　连结 FD，在 AFBD的内部，作 LFDG = FBD，交 FB于点 G，则 △FDG △FBD．所以D 塑 G= = ．于是 D =,／gco．

　从而 D +√5D0 = √5(GD +00)≥ GO，当 G、D、0共线时，等号成立．

　连结 AG，因为 FA = FD = FG ·FB， AFG = BFA，所以 △FAG ／XFBA．

　因此 LFGA = FAB =90。．于是点 G恰好在 oO上．从而 GO=2．故 DB+ DO的最小值是 2,8．

　例 4 如图4，在边长为 2,g的等边／xABC 中，点 D为 AC的中点，动点 P在 AABC内，连结 PA、PB、PC、PD， PAB = LPBC，求 PC+2PD的最小值． A B C 图4 解析：在等边 AABC中，因为 LPAB = LPBC，所以 PA + LPBA ：

　PBC + 删 = LABC = 60。． LAPB = 120。．

　则点 P在以 AB为弦，圆周角为 120。的圆弧上．

　设圆弧的圆心为 O，连结 OC，交 AB于点 E，则点 E是 AB的中点，连结 OP、OB．因为 BC=2,／X，易知 OP：OB：2，OE= 1， OC = 4．

　Y．N~uo，c= = 2， LPOC = L EOP，所以／X0CP ／x OPE．

　从而面 PC= =2，即 Pc =2阳．

　连结 ED，易知 ED是 AABC的中位线，所以 2ED =BC =2 ．

　从而 PC +2PD =2(PE+肋 )≥ 2ED = 2,g，当点 P在线段 ED上时，等号成立．

　即 PC+2PD的最小值是 24g．例 5 如图 5，在／xABC中，

　A =90。， AB =AC=4，点 D、E分别是 AB、AC的中点．若 AADE绕点A逆时针旋转，得到／XAFG，记直线 F与 CG的交点为P．连结PD、船，求PD+

　6一数学教学 2018年第 6期船的最小值． C G 图 5 解析：如图 5，在ABAF和ACAG中，因为 AB =AC，AF =AG， LBAF = 90。+ CAF = ／CAG，所以 ABAF— t ． fa ACAG，从而／_ABP = ACP． P C + PCB = (45。一 LABP) + (45。+LACP)=90。，所以 LBPC =90。．

　设 BC的中点为 0，连结 PO，则 PO = ÷Bc=2√2．

　点 P在以0为圆心、2 为半径的圆弧上．连结 DE，则 DE=÷AB=2．

　在射线 OE 上取点日，使得 AOPE 一 oHP．则：器：

　，得OH：4，胁：

　oH PH oP ’、⋯ PH．

　肋 +4" 2PE =肋 +朋 ≥ DH，当P在线段 DH上时，等号成立．

　易知 DH = E +D =2 ，所以 PD+ PE的最小值是 243．例 6 如图6，点 P在边长为4的正方形图 6 ABCD中，且 APBA=LPCB，点E在BC边上， BE =3EC，求 PA+2 P 的最小值．

　解析：如图6，因为 P鲋 =LPCB，所以 PBC+LPCB=LPBC+LPBA=90。．因此点 P在以BC为直径的圆在正方形 ABCD内的圆弧上．

　设 BC中点为 0，连结 PO，易知AO=2,3．

　因为 BE =3EC，所以 OE =1．在 BC的延长线上取点 G，使 AOGP oPE．于是， = = ，得 DG=4，PE OP OE = J E’ 一一PE’ l哥uu一 ’

　一 2 ~--pG．连结 AO，在 AO上取点 F，使 △OPF— A OAP．因此 = = ，得 OF = ， PA = PF．

　从而 PA +2 PE = (PF+PG)≥ FG，当点 P在线段 FG上时，等号成立．作朋 j- c于点日测 FH= = ，得 FH=÷，DH= ．

　因为 HG =0H +OG = ，所以 FG = √F评 +HG =2 ．即 PA+2,5PE的最小值等于√SFG=10．

　例 7 已知 oD的半径为 a，圆外一点 A， OA = b．

　(1)问题发现如图7(1)，过点A作o0的切线 AP，切点为 P，过点 P作 PB J_OA于点 B．填空：

　图 7(1)

　2018年第 6期数学教学 6一船 (i)OB= ；(ii) PB= (用含 a、b的代数式表示) (2)拓展探究如图 7(2)，点 P是 6)0上任意一点，连结 PA、PO，在 OA上取点，使得 OPB = LA，连结船．(1)中的结论还成立吗?请说明理由．图 7(3) 解析：(1)(i

　a，(ii)詈．

　(2)成立．因为 OPB=LA，LPOB = LAOP，所以 APOB— AAOP．因此 PB = OB = OP，即 PB ：

　OB = a．从 2 a 而 OB = a， PB=

　． (3)6 ，P(1(5—2-)，丢(5一 ))．

　提示：如图 8，易知 C(2，3)．在 CB上取点 D，使 CPD= CBP，则 APCD ABCP． ‘H CD CP PD 』一一一

　CP — CB — PB‘ 所以 CD = 1，PB =2PD．

　图 8 因此 D(3，3)，OD =3 ． 2PO+P =2(PO+肋 )≥20D=6]2，当点 P在线段 OD上时，等号成立．此时，设点 P(m，m)．

　由勾股定理，得 (2一m) +(3一m) ：

　2 ，即 2m 一lOm +9：0．解得m=÷(5—2 -)，另一解m=÷(5+ )，不符合要求舍去．

　所以，此时有P(1(5—2 -)，

　(5一 )1．

　例 8 如图9，弧 AB和弧 CD以LMON的顶点 0为圆心，端点在角的两条边上，动点 G、日分别在两条弧上，且直线 GH经过顶点 0，点 E、F为两边上的定点．若 LMON =45。， OA=4，OC =6，OE =8，OF =2 ，求 HE+2 FG的最小值． D R A C E M 图 9 解析：在 OM 边上取点 R，使 AOEH — AOGR，则 HE = OH = OE．因为 OG=OA=4，OH=OC=6，OE= 8，所以 OR =3，HE =2GR．

　6一, 34 ／K- " 3"教学 2018年第 6期在 ON边上取点 s，使 AOFG AOGS，则 FG 0G OF FG 4 2,／2 GS — OS — OG’ GS — OS 一 4 ‘ 因此 OS=4 ，GF = GJ s．则 HE+24" 2FG=2GR+2 ×等GS =2(GR+G| s)≥ 2RS，

　当点 G在线段 RS上时，等号成立．

　因为／MON=45。，所以R． s=~／l +4 = ．即HE+24YFG的最小值为2 l7．

　以上各例涉及到一个重要的几何问题——阿波罗尼斯圆．AB为平面内的定长线段，尸为一个动点，满足两 PA =A(A≠ 1)，则点 P的轨迹是一个圆．这个圆直径的两端是按定比A内分 AB和外分 AB所得的两个分点．如图 lO，M为 AB的内分点，』、r为 AB的外分点．若 A M= =A(A≠1)，则以删为直径的 oD 就是动点 P的轨迹．图 10 这是著名的阿波罗尼斯 (Apollonius)轨迹定理．以 MN为直径的o0叫做阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．阿氏圆有如下性质：

　在线段 AB关于定比A(A≠ 1)的阿氏圆上任意一点，到A、B两点距离的比都等于定比 A．即若点 P在阿氏圆上，则 =A．此时，必有 J P 平分／_APB、PⅣ平分／ ___APB的外角．阿氏圆的性质与阿波罗尼斯轨迹定理是一组互逆命题，其两大特征是：A M = = PA= = OP和上 PⅣ．

　、曰、、Ⅳ为以点 A、为基点，点 M、 Ⅳ为内、外分点，A为分比的调和点列．

　阿波罗尼斯定理为解决 +AP 的最小值问题提供了依据和方法，当我们遇到 + AP 型问题的时候，首先探寻动点 P的轨迹，若点 P的轨迹是圆就把它作为阿氏圆，确定半径 r和圆心 0．

　若 OA =AOP，在直线探究点 A ，使 AOPA AOA P测 = PA = ∽ ，则 A，得 APA ，所以 PA+APB=A( +朋 )≥AA B；若 OP =AOB，在直线 OB探究点，使 P AOPB AOB P测 = =÷：

　∽ ，则，得船 ÷PB ，既＼ PA+ PB=PA+PB ≥AB r．需注意的是，模型 PA+APB中的常数A的值不是任意确定的，它必须满足 =A或 OB= 1方可应用以上方法求解，这种局限性更充分说明阿波罗尼斯轨迹定理的美妙之极．

　参考文献 [1]陈明儒．构造三角形模型求解线段最值难题[J]．中学数学杂志，2016(4)：44—45．

　[2]李发勇．探究“a+硒型”线段和最小值问题[J]．中学数学教学，2017(3)：55—57．

　[3]黄全福．利用阿波罗尼斯圆解竞赛题 [J]．中等数学，2010(2)：5—9．

篇四：一定两动求最小值

识引入如图，已知动点P 在直线L 上运动，点M 、N 在直线两侧，求|PM|+|PN| 的最小值分析：根据三角形两边之和大于

　第三边易知，当且仅当P P 、M M 、N N

　三点共线时 |PM|+|PN| 取最小值

　为为|MN| 例：直线L ：y=x ，点M(1,3) 、点N(2,1) 在直线两侧，求|PM|+|PN| 的最小值答案：5

　思考：当当M 、N 在直线L 同侧时又该如何？

　答案：5 结论：在平面中，直线上动点与异侧两定点距离和有最小值，当且仅当三点共线取得最小值，最小值为两定点间的距离

　当定点为同侧时，先做出其中一点的对称点，再利用三点共线求最小值比如把点M 改为（3,1 ）

　理论迁移— 空间几何探究：

　这也是直线上的动点与两定点距离和最小值问题，是否能将空间问题转化为平面问题？

　分析：

　理论迁移— 空间几何

　理论迁移— 空间几何答案：

　74变式：蚂蚁爬行问题

　理论迁移— 圆锥曲线如图，已知抛物线：y 2 =4x 上动点P ，焦点为F, 点点M(3,2), 求|PM|+|PF| 的最小值探究：

　如果把抛物线看成直线，就变成直线上的动点与同侧两定点距离和最小值问题，如何将同侧关系转化为异侧关系？

　理论迁移— 圆锥曲线如图，已知抛物线：y 2 =4x 上动点P ，焦点为F, 点点M(3,2), 求|PM|+|PF| 的最小值分析：

　如图，利用抛物线定义，可以将焦半径|PF| 转化为|PH| ，故最小值为点点M 到准线的距离答案：4

　理论迁移— 圆锥曲线变式：

　如图，已知抛物线：y 2 =4x 上动点P ，过P 点作x=-1 的垂线段为PH, 点M(2,4),求求|PM|+|PH| 的最小值答案：

　谢谢您的观看

篇五：一定两动求最小值

点三角形周长最小值问题探索■ 王震伟作者简介:王震伟(1978 －)，男，本科，中学一级教师，主要从事初中数学教学研究摘要:近年来，最值问题频繁出现在中考压轴题中．在初中阶段，最值问题一直是个难点也是一个重点，它要求学生具有很强的问题分析能力与综合运用数学知识、数学思想方法解决问题的能力．本文根据2015 年沈阳市中考题中的压轴最值问题，结合自己的理解，对这类最值问题的解题教学进行了深入的探究．关键词:压轴;最值;动点;浅入深出一、试题展示及解答题目:(2015 年沈阳中考第 25 题)如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线y = －23x 2 －43x +2 与x轴交于B、C 两点(点 B 在点 C 的左侧)，与 y 轴交于点 A，抛物线的顶点为 D．(1)填空:点 A 的坐标为( ，)，点B 的坐标为( ， )，点C 的坐标为 ( ，)，点 D 的坐标为 (， )．(2)点P 是线段BC 上的动点(点P 不与点B、C 重合)① 过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 E，若 PE =PC，求点 E 的坐标;② 在 ① 的条件下，点 F 是坐标轴上的点，且点 F到 EA 和 ED 的距离相等，请直接写出线段 EF 的长;③ 若点Q是线段AB上的动点(点Q不与点A、B重合)，点Ｒ是线段AC上的动点(点Ｒ不与点A、C重合)，请直接写出 △PQＲ周长的最小值．原题解答:(摘自网络)这里我们重点研究最后一小问．答案:(1)0、2，－3、0，1、0，－1、83;(2)①E(－32，图 1图 252);②32或52;③槡32 6565．对于最后一小问，网上给出的解答如下．根据题意:当 △PQＲ为 △ABC 的垂足三角形时，周长最小，所以 P 与 O 重合时，周长最小，如图2，作 O 关于 AB 的对称点 E，作 O 关于 AC 的对称点 F，连接 EF 交 AB 于点Q，交 AC 于Ｒ，此时 △PQＲ的周长 PQ + QＲ + PＲ =EF，因为 A(0，2)，B(－ 3，0)，C(1，0)，所以 AB =2 2 + 3槡2=槡 13，AC =1 2 + 2槡2= 槡 5，因为S △AOB =12×12OE × AB =12OA × OB，所以 OE =12槡 13，因为△OEM ∽ △ABO，所以 OMOA=EMOB=OEAB，即OM2=EM3=12槡 13槡 13，所以 OM =2413 ，EM =3613 ，所以 E(－2413 ，3613 )，同理求得 F(85，45)，即 △PQＲ的最小值为 EF =(85+2413 )2+ (3613－45)槡2=槡32 6565．二、究问题之本研解题之道上述问题是 2015 年沈阳中考的压轴题，做了以后感觉这个问题内涵丰富，值得研究，从而使得笔者对这一类问题有了更深的理解．不管是学生还是老师，笔者· 5 ·

　认为拿到这个题目都有点束手无策，究其原因，其表面现象由三个动点求最小值，这种气势颇为吓人．分析以后发现，对于这个问题，上面网络的解析，我感觉没能站在学生的角度分析，就算学生看了答案估计一些学生也不知所以然．“垂足三角形”这个概念不要说学生，就是没搞过奥赛的教师也许知道的也不多．其实这个问题的本质考点是利用轴对称知识点进行转化后求最值．下面就笔者对本题的理解，结合若干小问题浅入深出的谈谈解题之道．问题1:如图3，P 为∠AOB 内部一点，试在OA，OB上各找一点 E、F，使得 △PEF 的周长最小．编制意图与简析:问题 1 比较简单，是一定两动三角形周长的最小值问题，只要化曲为直即可，所以利用对称，分别作点 P 关于 OA，OB 的对称点 P 1 ，P 2 ，连接P 1 P 2 与 OA，OB 的交点就是 E，F．如图 4，此时 △PEF的周长最小，最小值就是线段 P 1 P 2 的长．编制的意图是让学生理解一定两动三角形周长最小时，E，F 确定的原理．图 3图 4问题 2:如图 5，若 ∠AOB = 45°，OP = 3，在 OA，OB 上各找一点 E、F，使得 △PEF 的周长最小，求最小值．编制意图与简析:在问题 1 的基础上编制的问题2，它的求解目的性比较强，就是要利用现有的边和角求出线段P 1 P 2 的长．如图6，易得△OP 1 P 2 为等腰直角三角形，所以 P 1 P 2 =槡3 2．编制的意图是要学生理解对称的性质，对应边相等，对应角相等，从而将问题转化成求一个腰长已知的等腰直角三角形的斜边长．图 5图 6变式1:∠AOB = 45° 不变，P不是定点，是∠AOB内一动点，且 OP = 3，在 OA，OB 上各找一点，使得△PEF 的周长最小，求最小值．思考，最值变吗?作图后易得答案仍然为槡3 2，由此可见，当 ∠AOB确定，OP 长确定，最值不变．变式2:∠AOB = 45° 不变，P 不是定点，是 ∠AOB内一动点，且 OP = a，在 OA，OB 上各找一点，使得△PEF 的周长最小，求最小值．思考，最值变吗?答案为槡 2a，由此可见，当 ∠AOB 确定时，此问题的最值和动点 P 到 O 的距离有关，它是随 a 变而变．变式 3:OP = 3 不变，若 ∠AOB 的正切为12，在OA，OB 上各找一点，使得 △PEF 的周长最小，求最小值．答案为槡6 55，由此可见，当 OP 确定时，此问题的最值和 ∠AOB 的大小有关，它是随 ∠AOB 变而变．编制意图与简析:问题 2 及其变式，是以控制变量法探究一定两动三角形的最小值问题．通过这一系列问题的解答，可以感受到当 ∠AOB 确定，OP 确定，则P 1 P 2 就是以OP为腰，2 倍∠AOB为顶角的等腰三角形的底边长，所以 P 1 P 2 也是确定的．这样就将一个一定两动三角形周长最小值问题转化成了解已知顶角和腰长求等腰三角形底边长的问题了．所以这类问题的最值 l 就和定角 α 及角内定点(或动点)到角的定点距离 m 有关(如图 7)．通过研究，我们可以得到一个非常简洁的结论为l = 2sinα·m(0 ＜ α ＜ 90°)问题 3:已知如图 8，∠AOB 的正切值为34，OC =· 6 ·

　图 7图 85，OD = 6，P 为线段 CD 上一动点，E、F 分别是 OA，OB的动点，求 △PEF 周长的最小值是多少?编制意图与简析:根据以上问题 1 和 2 的分析，问题 3 也就不难理解了．本题的角是确定的，所以，OP 什么时候最小，三角形周长就什么时候最小，即当 OP 垂直于 CD 时． (解略)下面我们再看 2015 年沈阳中考最后一题的最后一问，理解后的答案为 S △PQＲ = 2BC ·sin∠ABC ·sin∠ACB = 2 × 4 ×2槡 13×2槡5=槡32 6565．这里笔者是以 ∠ACB 为定角来研究最小值的．图 9到这读者应该还有一个疑问，为什么以 ∠ACB 为定角来研究最小?是不是该分类讨论?在不知道什么垂足三角形的前题下，应该有这个疑问．请看图 9 证明．2AE · sin∠BAC = 2AC ·sin∠ACB·sin∠BAC = 2AB·sin∠ABC·sin∠BAC．2BD·sin∠ABC = 2AB·sin∠BAC·sin∠ABC =2BC·sin∠ACB·sin∠ABC． 2CF·sin∠ACB = 2AC·sin∠BAC·sin∠ACB = 2BC·sin∠ABC·sin∠ACB．所以 2AE · sin∠BAC = 2BD · sin∠ABC = 2CF ·sin∠ACB．也就是无论从哪个角思考都可以，它们的结果是一样的，所以笔者找了最好算的一个方向．三、教学启示数学中考仍是以定量评价全面考察学生数学学习全过程的重要方式．而压轴题不仅注重考察学生对数学概念的理解，数学思想方法的掌握，而且其对数学思考深度，探究与创新的水平及应用数学解决实际问题的能力有更高要求从而发挥甄别与选拔功能．最值问题作为压轴题一直是困扰教师和学生的难点，本文针对 2015 年沈阳中考的压轴最值问题，进行了浅入深出的分析．将较为复杂的动点最值问题，通过理解，编制了一组问题窜，使问题变得清晰明了．综合题学生不会做的原因是知识点不熟，不会分析．其实老师都知道一个综合题是由若干个知识点拼在一起组成的，如果在解题时哪句话没理解或哪个知识点没想起来，那么这个综合题也就卡在那了．所以平时老师对综合题的教学绝不能就题论题，解一题是一题．我们更应该看到问题的本质，从源头去讲解，看看这个题能不能变“个案”为“类案”，能否研究出这类题的解题通法，也就是我们老师平时常说的举一反三．“浅入深出”是笔者一直思考和实践的教学模式，这能充分调动学生学习的积极性，启发学生的思维，提高学生的解题能力和探索能力．［江苏省常州市武进区马杭初中 (213162 )］· 7 ·

篇六：一定两动求最小值

阅读YUE KAN WEN CUN11文存阅刊最近在网上看到好多胡不归系列的问题，今天我就我的理解对胡不归问题做一个浅入深出的分析。一、知识解读问题：已知如图1，点A为直线l上一定点，点B为直线l外一定点，在直线 l 上找一点 P，使得 BP+mAP（0 ＜ m ＜ 1）值最小。解析：如图2，在直线l的另一侧构造∠PAC，使得Sin∠PAC=m，作 PD ⊥ AC，则 PD=AP×Sin ∠ PAC=mAP，所以 BP+mAP=BP+PD，此时两定一动问题转化成了一定两动问题，这里给学生分析应以退为进，假定 D 为定点，由公理两点之间线段最小，当 B、P、D 三点共线时，BP+PD 最小，即最小值为 BD，然后让 D 点动起来，此时变成了一定一动点线最值问题，根据直线外一点到直线上各点的连线段中垂线段最短，所以当 BD ⊥ AC 时，垂线段 BD 就是我们要求的 BP+mAP 的最小值（如图 3）。归纳：胡不归问题构图步骤，以线上定点 A 为角的顶点，对于另一定点 B 在直线的异侧构造一锐角 α，使得 Sinα=m；过定点 B 作射线AC 的垂线段 BD，线段 BD 即为所求最值。二、知识应用例 1. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax 2 +bx+c 的图象经过点 A（- 1，0），B（0，- ），C（2，0），其对称轴与 x 轴交于点 D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若 P 为 y 轴上的一个动点，连接 PD，则 PB+PD 的最小值为

　；分析：此题第二问是一个显性的胡不归问题，两定一动最值，一个定点 B 和动点 P 在同一直线 y 轴上，另一定点 D 在 y 轴外，所以只要以B 为顶点，在 y 轴的左侧构造锐角 α，使得 Sinα= ，此时这条射线就是 BA，过点 D 作 BA 的垂线段 DE，求出 DE 就是 PB+PD 的最小值。变式 1：如果将上诉问题（2）中的 PB+PD 改成求 PB+2PD 的最小学会思维之浅入深出——两定一动之胡不归问题何平（江苏省常州市卜弋中学江苏常州 213000）值呢？分析：这样一改有的学生就下不了手了，形式上感觉还是胡不归，但是 PD 的系数不符合正弦值的范围，所以我们要稍稍搞点小动作，将PB+2PD 转化为2（ PB+PD），2 为常数，所以只要求出 PB+PD 的最小值再乘以2 就是 PB+2PD 的最小值。变式 2：如果将上诉问题（2）中的 PB+PD 改成求 3PB+5PD 的最小值呢？此题留个读者自己杀了，我就不啰嗦了。例 2. 如图，△ ABC 在直角坐标系中，AB=AC，A（0，2 ），C（1，0），D 为射线 AO 上一点，一动点 P 从 A出发，运动路径为 A → D → C，点P 在 AD 上的运动速度是在 CD 上的3 倍，要使整个运动时间最少，则点D 的坐标应为（

　）分析：此题为隐性的胡不归问题，根据题意可设CD上的速度为v，则 AD 上的速度为 3v，则运动时间 t=AD3v+CDv-1v （13AD+CD），要使 t最小，只要使得 13AD+CD 最小，这就转化为我们所熟悉的胡不归模型了，而∠ BAO 的正弦值刚好就是 13 ，所以过点 C 作 AB 的垂线与 y 轴的交点就是我们要求的 D 点。同样你也可以模仿例 1 对试题进行改编，只要把速度比值适当改编就行，这题留给读者自己编自己杀。例 3. 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 上有一动点 P，BC=6，∠ ABC=150°，则线段 AP+BP+PD 的最小值为

　．分析：此题和上述例 2 不一样，感觉不像胡不归问题，因为它是三定一动最小值问题，但是我们好好观察一下你会发现 BP 和 DP 的相等的，所以AP+BP+PD 可以转化为 AP+2BP，这样你是不是会了？你解完例 3 后会自编一题类似的问题杀一杀吗？三、教学反思我们为师者，如何引导学生解题，如何引导学生反思，如何引导学生感悟，是我们一辈子要研究的课题。我对学生的要求是解必思，思必悟，悟必编。光解不思不是解题，思完没有自己的感悟不是解题，有了感悟不会改编拓展不是解题。万方数据

篇七：一定两动求最小值

值、最小值问题

　在生产实践中，为了提高经济效益，必须要考虑在一定的条件下，怎样才能用料最省，费用最低，效率最高，收益最大等问题。这类问题在数学上统统归结为求函数的最大值或最小值问题。

　一、函数最大值最小值求法二、函数最值应用举例

　如果把易拉罐视为圆柱体，你是否注意到可口可乐、雪碧、健力宝等大饮料公司出售的易拉罐的半径与高之比是多少？请你不妨去测量一下，为什么其半径与高之比约为1 1 ：2 2 ？

　案例

　[ [ 易拉罐的设计] ]

　一、最值的求法闭区间[ a , b ] 上连续函数 f

　(

　) 必存在最大值和最小值

　 oxyoxybaoxyabf ( x ) 在[ a , b ] 上的最大值和最小值只能在区间内的驻点、导数不存在的点或端点取得由上图分析知 a b

　求函数 f (x) 在[a, b] 上最值的一般步骤是: 1. 求出f(x) 在(a ，b) 内的所有驻点和不可导点; 2. 求出函数在上述点处和区间端点处的函数值； 3. 比较上述函数值，找出最大的和最小的．

　例例1 1 解解 ) 1 )( 2 ( 6 ) (         x x x f .] 4 , 3 [ 14 12 3 22 3上的最大值与最小值的在求函数           x x x y得解方程 , 0 ) (    xf. 1 , 22 1      x x计算     ) 3 ( f; 23    ) 2 ( f; 34  ) 1 ( f ; 7 ; 142   ) 4 ( f，最大值 142 ) 4 (   f 比较得 . 7 ) 1 (   f 最小值无不可导点

　特殊情况下的最大值、最小值:

　 (1) 如果连续函数

　f (x) 在 [a, b] 上单调递增, 则 f (x) 的最大值与最小值分别为 f (b) 、 f (a); 如果在在 [a, b] 上单调递减,

　则 f (x) 的最大值与最小值分别为 f (a) 与 f (b).

　(2) 如果函数

　f (x) 在一个区间内可导且只有一个驻点点 x 0

　, 并且该驻点 x 0 为为 f (x) 的极值点, 则当 f (x 0 ) 是是极大值时时,

　f (x 0 ) 为 f (x) 在该区间上的最大值;

　当 f (x 0 ) 是是极小值时时, 则 f (x 0 ) 为 f (x) 在该区间上的最小值 ( 见下图图) .

　f(x 0 )

　O a

　x 0

　yf(x

　)

　f(x 0 )

　O a

　x 0

　yf(x

　)

　例2

　铁路线上AB 段的距离为100km．．工厂C 距A 处为20km ， AC 垂直于AB．．为了运输需要，在要在AB 线上选定一点D 向工厂修筑一条公路．已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货比运的运费之比3: :5．．为了使货物从供应站B 运到工厂C 的运费最省，问D 点应选在何处？ 100km D A B C 20km 二、函数最值应用举例

　 y  k340052xx，令y0，得x15(km)．由于 y| x  0  400k，y| x  15  380k，y| x  100  500k2511 ，其中以y| x15 380k为最小，因此当ADx15km时，总运费为最省．

　解

　设ADx (km)，则 DB100x ， CD 2 220 x  2400 x  ．设从B点到C点需要的总运费为y，即

　y  5k2400 x   3k(100  x)

　(0  x  100)．那么y5k·CD3k·DB (k是正数)，

　例3

　 [容器的设计] 要设计一个容积为500ml 的圆柱形容器，其底面解解设其底面半径为r ，高为半径与高之比为多少时容器所耗材料最少？ 22 2 r rh S    2500rh221000rr  其表面积为 rrS  410002   令

　因为驻点唯一，此问题的最小值一定存在，故此驻点

　, 0   S312500 r即为最小值点，

　3125002 h即

　12rh故当底面半径与高之比为1 1 ：2 2 时，所用材料最少．

　由于梁的最大抗弯截面模量在(0 ，d) 内一定存在，而函数在在(0 ，d) 内只有一个驻点，所以当b

　d 时，31因而

　W61b(d

　2 b

　2 )

　(0<b<d)．W 的值最大．这时，

　b31d 是唯一的驻点． W  61(d

　2 3b

　2 )．，

　h32d ．

　把一根直径为d 的圆木锯成截面为矩形的梁．问矩形截面的高h 和宽b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量W 最大? 其中

　解

　 b 与h 有下面的关系：

　2  d

　2  b

　2 ，，因而

　W61b(d

　2 b

　2 )

　(0<b<d)．W61bh

　2 ．

　例例 4 d

　h b

　实际问题求最值应注意: :

　(1) 建立目标函数; (2) 求最值; 值．或最小函数值即为所求的最点，则该点的若目标函数只有唯一驻) (

　四、小结求最值的步骤实际问题求最值的步骤.

　一汽车厂家正在测试新开发的汽车的发动机的效率，发动机的效率P（%）与汽车的速度v (单位：km/h) 300004 . 0 768 . 0 v v p  问发动机的最大效率是多少？解练习 1

　[ 发动机的效率] ]

　之间的关系为

　三、进一步练习

　200012 . 0 768 . 0 vdvdp 令

　，得v=80(单位：km/h) .

　0 dvdp由实际问题知，此时发动机的效率最大，最大效率为 % 41 ) 80 (  p

　练习2 2

　用边长为48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒 , 在铁皮的四周各截去面积相等的小正方形，然后把四周折起 , 焊成铁盒 . 问在四周截去多大的正方形 , 才能使所做的铁盒容积最大? 48 cm

　x(cm) 48 cm

　解

　设截去的小正方形的边长为

　x(cm),

　铁皮容积为

　V (cm 3 ), 根据题意有

　= x(48- -2x) 2 ，

　x ( (0, 24) ) 问题归结为求

　x 为何值时, , 函数V 在区间( (0, 24) )

　内取得最大值. .

　令令

　V  = 0, 求出在( (0, 24) ) 内唯一的驻点

　x = 8.

　V  = (48- -2x) 2 + +2x(48- -2x)(- -2) =12(24- -x)(8- -x),

　因此, , 当截去的正方形边长为 8cm 时, 铁盒容积最大.

　) 2 32 ( 12 x V      0 /8   xV所以x=8 是极大值点，也是最大值点.

篇八：一定两动求最小值

∠PHO ＝135°为定角，但其所对的边 OP 并非定弦，连 I D，易证△ PIO≌ △ OID，所以∠OID ＝∠PIO＝135°，且其所对的边为 OD，符合定弦定角条件，故 I 点轨迹为圆弧，问题易解.解如图7 －1，连结 PI，OI，HI，DI.因为点 I 为 △ OPH 的内心，所以 △ PIO≌ △ OID.因为 PH⊥OD 于点 H，所以∠ PIO ＝90°＋ 12∠PHO ＝135°.所以∠OID ＝∠PIO ＝135°.又因为 OD ＝6，所以 I 点在 △ OID 的外接圆上运动，作出 △ OID 的外接圆⊙O′，连结 O′O，O′D.所以∠OO′D ＝135°，O′O ＝3 2.所以 I 点运动路径长为90360×2π×3 2 ＝3 2π2.说明此题较难的地方在于难以发现∠OID ＝135°这个定角，并且注意点 I 的运动轨迹是一段圆弧，而非整个圆.从这两类问题的研究中还可以发现一点：若无其它限制，主动点运动路径是圆弧，从动点的运动路径也应是圆弧，并且从动点与主动点圆心角应该是相等的.面对着一个比较综合、有一定难度的数学问题，怎样才能引导学生迅速地找到其突破口，打开学生的解题思路呢？俗话说妙计可以打胜仗，良策则有利于解题，当学生对数学知识，数学思想方法的学习和运用达到一定水平时，应该把一般的思维升华到计策谋略的境界.只有掌握了一定的解题策略，才会在遇到问题时，找到问题的思考点和突破口，迅速、正确地解题.因此，在教学中要适当加强数学解题策略的指导，优化学生的思维品质，提高解题能力.由朱华伟，钱展望所著《数学解题策略》一书中谈到：“把学数学比作吃核桃，核桃仁美味而富有营养，但要砸开才能吃到它.数学教育要研究的，是如何砸核桃吃核桃 .教育数学呢，则要研究改良核桃的品种，让核桃更美味，更营养，更容易砸开吃净 .” 在实际的教学过程中我们发现许多问题，虽然属于不同的知识內容，但它们在方法策略上有相同或类似之处 .从解题的角度来看，顺利解决一道数学问题除了必须具备扎实的学科知识基础，更重要的是要有灵活的方法策略.我们在解题的时候常常碰到这样的情况：在百思不解的时候，经过解题高手一点拔，我们的思路豁然开朗，闪电一般解决了问题 .这说明我们并不是不熟悉问题涉及的知识內容，而是我们的方法策略不对，因此需要我们做教师的在平时的教学过程中多研究一些解题策略.参考文献：［1］徐宏.涉圆最值问题归类解析［J］.中学数学教学，2017（1）：38 －40.［2］朱华伟，钱展望著.数学解题策略［M］.北京：科学出版社，2009.例谈如何求 “一定两动型 ”折线段长的最小值江苏省淮安市淮阴区开明中学 223300

　马先龙

　摘要：“一个定点、两个动点”型折线段长的最小值问题一直是全国各地中考命题的热点.此类问题因难度较大，常常让答题者望而生畏.实际解题时，若能灵活地运用轴对称法，通过等线段代换，化“同”为“异”、化“折”为“垂”、化“折”为“定点与曲线上最近点连线”，则可化难为易，顺利解题.关键词：折线段；轴对称；化同为异；化折为垂作者简介：马先龙（1966 －），男，江苏淮阴人，本科，中学高级教师，江苏省淮安市骨干教师，研究方向：中学数学教学.

　轴对称法［1］是解折线段长最小值问题行之有效的方法.那么，实际解题时，如何灵活运用这种方法求· 8 2 · 理科考试研究· 数学版

　2018 年 10 月10 日万方数据

　“一个定点、两个动点”型折线段长的最小值呢？一、构造轴对称点，化同为异，化折为垂例1 （2018 湖北十堰市中考）如图 1，Rt △ ABC中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝6 2，点 D、E 分别是边BC、AC 上的动点，则 DA ＋DE 的最小值为 .分析如图 1，求 DA ＋DE 的最小值就是求折线段 AD—DE 长的最小值.作点 A 关于直线 BC 的对称点 A′，连接 DA′，则 AD ＝A′D.所以 DA ＋DE ＝A′D ＋DE.因 A′是定点，故过点 A′作 A′M⊥AC 于点 M，根据“垂线段最短”，知垂线段 A′M 的长就是折线段 A′D—DE 亦即折线段 AD—DE 长的最小值，求出 A′M 的长即可.解如图1，作点 A 关于直线 BC 的对称点 A′，连接 DA′，则 DA ＝A′D.所以 DA ＋DE ＝A′D ＋DE.因 A′是定点，故过点 A′作 A′M⊥AC 于点 M，根据“垂线段最短”，知垂线段 A′M 的长就是 DA ＋DE 的最小值.在 Rt △ ABC 中，因为∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝6 2，所以 BC ＝ 32＋（6 2）2＝9.所以边 BC 上的高为 3 ×6 29＝2 2.所以 AA′＝4 2.因为∠A′AM ＋∠BAA′＝90°，∠ABC ＋∠BAA′＝90°，所以∠A′AM ＝∠ABC.在 Rt △ A′AM 中，sin∠A′AM ＝A′MAA′.在 Rt △ ABC 中，sin∠ABC ＝ACBC .所以 A′MAA′＝ACBC .所以 A′M4 2＝6 29，解得 A′M ＝163.所以 DA ＋DE 的最小值为 163.点评本题的折线段属“一定两动”型，其中，两个动点都在线段上运动.通过构造点 A 关于直线 BC的对称点 A′，连接 DA′，得到 DA ＝A′D，达到了化直线BC 的同侧线段 AD、DE 为直线 BC 的异侧线段 A′D、DE，即化同为异的目的；通过构造 A′M⊥AC，知垂线段 A′M 的长即为折线段 AD—DE 长的最小值，从而达到了化折为垂，化难为易的目的.二、构造轴对称点，化同为异，化折为“定点与曲线上最近点连线”例2 （2018 黑龙江龙东地区中考）如图 2，已知正方形 ABCD 的边长是 4，点 E 是 AB 边上一动点，连接 CE，过点 B 作 BG⊥CE 于点 G，点 P 是 AB 边上另一动点，则 PD ＋PG 的最小值为 .分析如图 2，求 PD ＋PG 的最小值就是求折线段 DP—PG 长的最小值.作点 D 关于直线 AB 的对称点 D′，连接 D′P，则 PD ＝D′P.所以 PD ＋PG ＝D′P ＋PG.设 BC 的中点为 O，以点 O 为圆心，BC 为直径作⊙O，过点 O 作 OM⊥AD 于点 M，设 OM 与⊙O 相交于点 N，由题意，易知点 G 在⊙O 的BN上运动，连接D′O，设 D′O 与⊙O 相交于点 H，根据“一点与圆上各点连线中，该点到过该点和圆心的直线与圆的近交点距离最近”，知 D′H 的长就是折线段 D′P—PG 亦即折线段 DP—PG 长的最小值，求出 D′H 的长即可.解如图 2，作点 D 关于直线 AB 的对称点 D′，连接 D′P，则 PD ＝D′P.所以 PD ＋PG ＝D′P ＋PG.设 BC 的中点为 O，以点 O 为圆心，BC 为直径作⊙O，过点 O 作 OM⊥AD 于点 M，设 OM 与⊙O 相交于点 N.由题意，易知点 G 在⊙O 的BN上运动，连接D′O，设 D′O 与⊙O 相交于点 H，则线段 D′H 的长就是 D′P· 9 2 ·

　2018 年10 月10 日

　理科考试研究· 数学版万方数据

　＋PG 的最小值，也就是 PD ＋PG 的最小值.在 Rt △ D′OM 中，因为∠D′MO ＝90°，OM ＝AB ＝4，D′M ＝4 ＋2 ＝6，所以 D′O ＝ 62＋42＝2 13.所以 D′H ＝D′O －OH ＝2 13 －2.所以 PD ＋PG 的最小值为2 13 －2.点评本题的折线段属“一定两动”型，其中，一个动点在线段上运动，另一个动点在圆弧上运动.通过构造点D 关于直线AB 的对称点 D′，连接D′P，得到PD ＝D′P，达到了化直线 AB 的同侧线段 PD、PG 为直线 AB 的异侧线段 D′P、PG，即化同为异的目的；通过构造⊙O，连接 D′O 与⊙O 相交于点 H，知线段 D′H 的长即为折线段 DP—PG 长的最小值，从而达到了化折为“定点与圆上最近点连线”，化难为易的目的.例3 如图 3，已知正方形 ABCD 的边长是 4，动点 E 从点 A 出发沿边 AB 向点 B 运动，同时，动点 F从点 B 出发沿边 BC 向点 C 运动，点 E、F 运动的速度相同，当它们到各自终点时停止运动.设运动过程中AF 与 DE 相交于点 M，P 是边 CD 上任意一点，则 PB＋PM 的最小值为 .分析如图3，求 PB ＋PM 的最小值就是求折线段 BP—PM 长的最小值.作点 B 关于直线 CD 的对称点 B′，连接 B′P，则 PB ＝B′P.所以 PB ＋PM ＝B′P ＋PM，连接 B′M，则 B′P ＋PM ＞B′M.如图4，设 AD 的中点为 O，以点 O 为圆心，AD 为直径作⊙O，则⊙O 必经过正方形 ABCD 的中心 G，由题意，易知点 M 在⊙O的AG上运动，当点 E 运动到点 B，点 F 运动到 C 时，点M 运动到点 G，此时，B′M 的长最小，故 B′G 的长就是折线段 B′P—PM 亦即折线段 BP—PM 长的最小值，求出 B′G 的长即可.解如图3，作点 B 关于直线 CD 的对称点 B′，连接 B′P，则 PB ＝B′P.

　所以 PB ＋PM ＋B′P ＋PM.连接 B′M，则 B′P ＋PM ＞B′M.如图4，设 AD 的中点为 O，以点 O 为圆心，AD 为直径作⊙O，则⊙O 必经过正方形 ABCD 的中心 G.由题意，知 AE ＝BF.又因∠DAE ＝∠ABF，AD ＝AB，所以 △ DAE≌ △ ABF（SAS）.所以∠ADE ＝∠BAF.所以∠ADE ＋∠DAM ＝∠BAF ＋∠DAM ＝90°.所以∠AMD ＝90°.所以点 M 在⊙O 的AB上运动，当点 M 运动到点G，B′M 的长最小，故 B′G 的长就是 PB ＋PM 的最小值.过点 G 作 GN⊥BC 于点 N，在 Rt △ B′GN 中，∠B′NG ＝90°，B′N ＝4 ＋2 ＝6，GN ＝ 12AB ＝2.由勾股定理，得 B′G ＝ B′N2＋GN2＝ 62＋22＝2 10，所以 PB ＋PM 的最小值为 2 10.点评本题的折线段属“一定两动”型，其中，一个动点在线段上运动，另一个动点在圆弧上运动.通过构造点 B 关于直线 CD 的对称点 B′，连接 B′P，得到PB ＝B′P，达到了化直线 CD 的同侧线段 PB、PM 为直线 CD 的异侧线段 B′P、PM，即化同为异的目的；通过构造⊙O，知⊙O 必经过正方形 ABCD 的中心 G，且点M 在⊙O 的AG上运动，连接 B′G，知线段 B′G 的长即为折线段 BP—PM 长的最小值，从而达到了化折为“定点与圆弧上最近点连线”，化难为易的目的.综上，用轴对称法求“一定两动”型折线段长的最小值，当两个动点都在线段上运动时，采用构造轴对称点，化同为异，化折为垂的方法求解；当两个动点一个在线段上运动，另一个在曲线上运动时，采用构造轴对称点，化同为异，化折为“定点与曲线上最近点连线”的方法求解.“模式只是提供了一种相对稳定的样本，遇到一个新的问题时，还需要转化或分解问题，创新出更多的模式［2］”.更多的运用，留给读者.参考文献：［1］马先龙 .因题而异按需取法［J］.中学数学杂志，2015（2）：58 - 60.［2］罗增儒.数学解题学引论［M］.西安：陕西师范大学出版社，2001.· 0 3 · 理科考试研究· 数学版

　2018 年 10 月10 日万方数据

推荐访问:一定两动求最小值最小值一定两动求