两动一定求最小值的方法4篇两动一定求最小值的方法 求两曲线上动点间距离最值的三种方法李凤迎(河北省武邑县职教中心，053400)我们注意到，在全国卷和其他一些省市的高考试题中，有不少是下面是小编为大家整理的两动一定求最小值的方法4篇,供大家参考。
篇一：两动一定求最小值的方法
曲线上动点间距离最值的三种方法李凤迎(河北省武邑县职教中心，053400)我们注意到，在全国卷和其他一些省市的高考试题中，有不少是关于求两个曲线上两个动点之间距离最值的题目． 常见的解决方法主要有:参数方程法、曲线相切法和通性代数法．这些题目往往以求两点之间的距离为载体，重点考查圆锥曲线的参数方程、三角函数、二次函数的配方法、点到直线的距离、两直线的夹角、直线和圆锥曲线的位置关系等知识，具有较高的综合性． 同时，在求最值问题中均渗透了转化思想和数形结合思想．一、参数方程法这种方法主要借助椭圆的参数方程和辅助角公式来减少变量个数，或简化目标函数表达式，达到简化问题的目的．例1(2014 年全国高考题)如图1，已知曲线 C:x 24+y 29= 1，直线 l:x = 2 + t，y = 2 － 2{t(t 为参数)． (1)写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程;(2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l夹角为 30° 的直线，交 l 于点 A，求 | PA | 的最大值和最小值．分析 由题意知，曲线 C 的参数方程为x = 2cos θ，y = 3sin{θ(θ 为参数)，直线 l 的普通方程为 2x + y －6 = 0． 作PH⊥l于点H，则| PA| =2 | PH | ，所以把求 | PA | 的最值问题转化为求 | PH | 的最值问题，也即在椭圆上找一点P，使点 P 到直线 l 的距离最大(或最小)．解 设P(2cos θ，3sin θ)，作PH⊥l于点H，则点 P 到直线 l 的距离为Ayx OPH图 1| PH | =1槡5| 4cos θ + 3sin θ － 6 | =1槡5| 5sin(θ + α)－ 6(| 其中 α 为锐角，tan α=)43，且| PA| = 2 | PH| =2槡5| 5sin(θ + α)－ 6 | ．当 sin(θ + α)= －1 时，| PA|max=槡22 55;当 sin(θ + α)= 1 时，| PA |min=槡2 55．变式 已知点P为圆C 1 :(x + 4)2+ (y －3)2= 1 的最高点，Q为椭圆C 2 :x 264+y 29= 1 上的一动点． 设线段 PQ 的中点为 M，直线 l:x －2y － 7 = 0 上的另一动点为 N，则 | MN | 的最小值为 ．解 (参数方程法)易知点 P(－ 4，4)，由椭圆的参数方程，可设Q(8cos θ，3sin θ)，则线段 PQ 的中点 M － 2 + 4cos θ，2 +32sin( )θ ．因为点 M 到直线 l:x － 2y － 7 = 0 的距离 d =1槡5| 4cos θ － 3sin θ － 13 | =1槡5| 5sin(θ + )+ 13 | ，所以当 sin(θ + )= － 1 时，· 3 2 ·第 6 期 高中数学教与学d min =1槡5| － 5 + 13 | =槡8 55，| MN | 的最小值为槡8 55．二、曲线相切法这种方法主要借助同心圆与椭圆相切及判别式来解决最值问题，是数形结合处理问题的具体应用．例2 (2014 年福建高考题)如图2，设P、Q 分别为圆x 2 + (y －6)2= 2 和椭圆 x210+ y 2 =1 上的点，F 1 、F 2 为椭圆的两个焦点，则| QF 1 |+| QP | +| QF 2 | 的最大值为 ．QF 2 F 1PCOyx图 2分析 由椭圆定义知 | QF 1 | +| QF 2 | 为定值，于是求 | QF 1 | +| QP | +| QF 2 | 的最大值问题可转化为求线段 | QP | 的最大值问题，也即转化为圆心 C 到椭圆上一点 Q 的两点间距离的最大值问题．解 由椭圆定义知 | QF 1 | +| QF 2 | = 2a=槡2 10，则 | QF 1 | +| QP | +| QF 2 | =槡2 10+| QP | ． 作 ⊙C 的同心圆，设半径为 r(r ＞槡2)，由题意知该圆与椭圆第一次相切时不符合题意;当第二次相切时的切点 Q 即为所求点．由x 210+ y 2 = 1，x 2 + (y － 6)2= 2{，得 9y2+ 12y + r 2 － 46 = 0．由 Δ = 12 2 － 4 × 9 × (r 2 － 46)= 0，得 r=槡5 2，此时 | CQ|max=槡5 2，所以 | QP |max=| CQ |max+ r =槡5 2 +槡2 =槡6 2． 又因为| QF 1 | +| QF 2 | = 2a =槡2 10，所以| QF 1 | +| QP | +| QF 2 | 的最大值为槡2 10 +槡6 2．变式 在直角坐标系 xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点 P、Q 分别为曲线 C 1 :x 2 － y 2 = 4 和曲线 C 2 :ρ = 2sin θ 上的两个动点，F 1 、F 2 为曲线 C 1 的左右焦点，则 | QP | +| QF 1 | －| QF 2 | 的最小值为 ．简解 (曲线相切法)因为C 1 :x 24－y 24=1，所以由双曲线定义知 | QF 1 | －| QF 2 | = 2a= 4． 对于曲线 C 2 ，由 ρ = 2sin θ，知 ρ 2 =2ρsin θ，由此易知曲线 C 2 为圆 C 2 :x 2 + (y －1)2= 1．设圆C 2 的同心圆系为x 2 + (y － 1)2= r 2 ．由x 2 + (y － 1)2= r 2 ，x 2 － y 2 = 4{，得2y 2 － 2y + 5 － r 2 = 0．当该同心圆系与双曲线相切时，Δ = 4 －4× 2 × (5 － r 2 )= 0，此时 r =槡3 22，| QP |min=r － 1 =槡3 22－ 1，所以| QP| +| QF 1 | － | QF 2 |的最小值为槡3 22－( )1+ 4，即槡3 22+ 3．三、通性代数法这类方法是借助抛物线上点的坐标的代数形式及配方法来解决问题．例 3 如图 3，已知抛物线的的顶点为坐标原点，准线方程为 y = － 1，ABC 的顶点 A在该抛物线上，B、C两点在直线y = 2x － 5 上，若→ → | AB － AC | =槡2 5，则 ABC 面积的最小值为 ．Ayx OBHCl图 3分析 易求得抛物线的方程为 x2= 4y．因为底边 BC 为定值，故 ABC 面积的最小值· 4 2 ·高中数学教与学 2015 年
破解多元函数压轴题的“五元”策略苏明亮(河南省沈丘县教育局教研室，466300)一、消元策略消元策略是处理多变元函数压轴题的最基本策略，遇到此类问题，首选方法就是消元法． 如果能够消元，就可以达到减元的目的，使问题化难为易，从而得以顺利解决．例 1(2013 年四川高考题)已知函数f(x)=x 2 + 2x + a，x ＜ 0，ln x，x ＞ 0{，其中 a 是实数． 设 A(x 1 ，f(x 1 ))，B(x 2 ，f(x 2 ))为该函数图象上的两点，且 x 1 ＜ x 2 ．(1)指出函数 f(x)的单调区间;(2)若函数 f(x)的图象在点 A，B 处的切线互相垂直，且 x 2 ＜ 0，求 x 2 － x 1 的最小值;(3)若函数 f(x)的图象在点 A，B 处的切线重合，求 a 的取值范围．解 (1)(略)．(2)由导数的几何意义可知，点 A，B 处的切线斜率分别为 f "(x 1 )、f "(x 2 )，故当点 A 处的切线与点 B 处的切线垂直时，有 f "(x 1 )f "(x 2 )= － 1．当x ＜ 0时，对函数f(x)求导，得f "(x)=2x + 2． 因为 x 1 ＜ x 2 ＜ 0，所以(2x 1 + 2)(2x 2 +2)= － 1，所以 x 1 = －14(x 2 + 1) － 1，且 － 1 ＜x 2 ＜ 0，因此 x 2 － x 1 = x 2 +14(x 2 + 1) + 1．设函数 g(x)= x +14(x + 1) + 1(－ 1 ＜x ＜ 0)，则g"(x)= 1 －14(x + 1)2 ．由 g"(x)= 0，得 x = －12．当 x ∈ － 1，－( )12时，g"(x)＜ 0櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷;等价于 ABC 底边上的高为最小值． 所以原问题转化为求抛物线上一点到直线的距离的最小值问题．解 由条件易知，抛物线的方程为 x2=4y． 设 A x，x 2( )4，则点 A 到直线 l:2x － y － 5 =0 的距离 d =1槡52x －x 24－ 5 =1槡4 5| (x －4)2+ 4 | ，当 x = 4 时，d min =1槡4 5× 4 =1槡5． 因为→ → | AB － AC | =槡2 5，即→ | CB | =槡2 5，所以(S ABC )min=12×槡2 5 ×1槡5= 1．变式 已知曲线 C 上的动点 P 到点(1，0)的距离等于它到直线 x + 1 = 0 的距离，动点 Q 在圆 x 2 + y 2 － 6x + 8 = 0 上，则 | PQ |min= ．简解 (通性代数法)已知圆(x － 3)2+y 2 = 1 的圆心为A(3，0)，半径为r = 1． 易知曲线 C 为抛物线 y 2 = 4x，所以可设点 Pa 24，( )a(a ≥ 0)，从而 | PA | =a 24－( )32+ a槡2=116 (a2－ 4)2+槡8． 由此易见，当 a 2 = 4，即 a= 2 时，| PA |min= 槡 8 =槡2 2，所以 | PQ |min= | PA |min－| QA | =槡2 2 － 1．· 5 2 ·第 6 期 高中数学教与学
篇二：两动一定求最小值的方法
常见动点问题解题方法引言
以运动的观点探究几何图形部分规律的问题，称之为动态几何问题.动态几何问题充分体现了数学中的“变”与“不变”的和谐统一，其特点是图形中的某些元素（点、线段、角等）或某部分几何图形按一定的规律运动变化，从而又引起了其它一些元素的数量、位置关系、图形重叠部分的面积或某部分图形等发生变化，但是图形的一些元素数量和关系在运动变化的过程中却互相依存，具有一定的规律可寻.
常见的动点问题
一、求最值问题
二、动点构成特殊图形问题
一、 求最值问题
初中 利用轴对称性质实现“搬点移线”求几何图形中一些线段和最小值问题。利用轴对称的性质解决几何图形中的最值问题借助的主要基本定理有三个：
（1）两点之间线段最短；
（2）三角形两边之和大于第三边；
（3）垂线段最短。
求线段和最小值问题可以归结为：一个动点的最值问题，两个动点的最值问题。
一、 求最值问题
例、如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边 三角形，点E在正方形内，在对角线AC上有一动点P， 使PD+PE的值最小，则其最小值是 ______
一个动点 特点：
已知两个定点位于一条直线的同一侧，在直线上确定一
动点的位置，使动点与两定点线段和最小，求出最小值。
思路：
解决这类题目的方法是找出其中一定点关于直线的对称点，
连结这个对称点与另一定点，交直线于一点，交点即为动点
满足最值的位置。
考题中，经常利用本身就具有对称性质的图形，比如等腰三角形，等
边三角形、正方形、圆、二次函数、直角梯形等图形，即其中一个定点的对称
点就在这个图形上 。
3 2p
练习 1、如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线， F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2， 当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（ ）
A．15°
B.22.5°
C.30°
D. 45°
2、如图，在直角梯形中，AD∥BC，AB⊥BC,AD=2，
BC=DC=5，点P在BC上移动，当PA+PD取得 最小值时，△APD中AP边上的高为 _________
3、如图，⊙O的半径为2，点A、B、C 在⊙O上，OA⊥OB, ∠AOC=60°，P是OB上 的一动点，则PA+PC的最小值是________
两个动点（一）
特点：已知一个定点位于平面内两相交直线之间，
分别在两直线上确定两个动点使线段和最小。
思路：这类问题通过做这一定点关于两条线的对称
点，实现“搬点移线”，把线段“移”到同
一直线上来解决。
例 、如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一 点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点， 求△PQR周长的最小值是__________
。
RQPOB A "P"PE F 例 、如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一 点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点， 求△PQR周长的最小值是__________
。
解析：
" P " P 连接 与OB，OA的交点即为R、Q 过OB作P的对称点 " P连接 O " P， O " P" P过OA作P的对称点 90° ° " P " P ∴△PQR周长的最小值= = 2 10O " P = O " POP= " P " P由对称性知：
PR+PQ+RQ= " P " P∠ O = =10 ｛
练习 1. 如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内 部的一个定点，且OP=2，点E、F分别是OA、OB 上的动点，若△PEF周长的最小值等于2，则α=（ ）
A．30°
B.45°
C.60°
D.90°
2. 如图，∠AOB=30°，内有一点P且OP=2， 若M、N为边OA、OB上两动点，那么△PMN 的周长最小为（ ）
A．2√6
B.6
C. √6/2
D. √6
两个动点（二）
特点：两动点在两条直线上，定点和其中一个动点共
线，求不共线动点分别到定点和另一动点的距
离和最小值。
。
思路：（1 1 ）利用轴对称变换，使不共线动点在另一动
点的对称点与定点的连线段上（ 两点之间线段
最短 ）
例
、 如图，在锐角△ABC中AB=4√2,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD、AB上 的动点，则BM+MN的最小值是 ________ （ 2 2 ）这条线段垂直于另一动点的对称点所在直线时，两线段和最小，最小值等于这条垂线段的长。
例
、 如图，在锐角△ABC中，AB=4√2,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD、AB上 的动点，则BM+MN的最小值是 ________ C D M B N A "NC B D "NM N A 解析：
作点N关于AD的对称点 "N此时BM＋MN＝BM＋M "N要使BM＋M
"N 最小 则要满足：① B，M， 三点共线 "NBM+MN的最小值＝ B
=AB ∴ ÷ ４
②B 垂直于 AC "N"N
练习
1. 如图，在△ABC中，∠C=90°，CB=CA=4， ∠A的平分线交BC于点D，若点P、Q分别是AC 和AD上的动点，则CQ+PQ的最小值是____________
2. 在锐角三角形ABC中，AB=4，∠BAC=60°， ∠BAC的平分线BC于D，M、N分别是AD与AB 上动点，则BM+MN的最小值是 _________ ．
小结
以“搬点移线”为主要方法，利用轴对称性质求解决几何图形中一些线段和最小值问题。如何实现“搬点移线” （1）确定被“搬”的点 （2）确定被“移”的线
二、动点构成特殊图形
问题背景是特殊图形,考查问题也是特殊图形,所以要把握好一般与特殊的关系;分析过程中,特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置).分析图形变化过程中变量和其他量之间的关系，或是找到变化中的不变量，建立方程或函数关系解决。
A B C D
如图：梯形ABCD中，AD//BC， AD=9cm,BC=6cm，点P从点A出发， 沿着AD的方向向终点D以每秒一个 单位的速度运动，当点P在AD上运 动时，设运动时间为t，求当t为何值 时，四边形APCB为平行四边形.
P 问题导入 A B C D P 解析 6 t ∵四边形APCB为平行四边形 ∴
AP=6
t=6
动点构成特殊图形解题方法
4、根据所求,利用特殊图形的性质或相互关系，
找出等量关系列出方程来解决动点问题
2、先确定特定图形中动点的位置,画出符合题意
的图形——— 化动为静 3、根据已知条件，将动点的移动距离以及解决
问题时所需要的条件用含t的代数式表示出来
1、把握运动变化的形式及过程;思考运动初始状
态时几何元素的关系，以及可求出的量
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5
，∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）.过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF. （1）求证：AE=DF； （2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果 能，求出相应的t值；如果不能，说明理由. （3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？ 请说明理由.
3例题讲解
（1）求证：AE=DF
解析：
A EDFt 2t t C B 又∵AE=t，∴AE=DF。
在△DFC中， ∵∠DFC=90 o o ，∠C= 30 o o ， DC=2t, ∴DF=t
30 o o
1单位 / s 2单位 / s 5 30 o o
3
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由. A EDFt 2t t C B 解析：
能，理由如下， ∵AB⊥BC，DF⊥BC， ∴四边形AEFD为平行四边形。
由（1）知AE=DF ∴AE
DF 在Rt△ABC中， 设AB=x,
则AC=2x, ∵
解得x= 5 ,即AB= 5 ,AC=10.
∴若使平行四边形AEFD为菱形， 则须AD=AE，即t= 10
-2t,
t=
即当t=
时，四边形AEFD为菱形。
30 o o
1单位 / s 2单位 / s 5 30 o o
331031010- - 2t
2 2 2AB BC AC 2225 3 2 X X ∴ ∥
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由. A EDFt 2t C B
若∠EDF=90 o 时，则四边形EBFD为矩形
30 o o
10- - 2t
解析 在Rt△AED中， ∵∠ADE=∠C=30 o ,
∴AD=2AE 即10-2t=2t,t= 30 o o
①当∠EDF=90 o 时 1单位 / s 2单位 / s 5 30 o o
3
即10-2t=
t （3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由. A EDFt 2t C B ②当∠DEF=90 o 时 解析：
由（2）知EF∥AD ∴∠ADE=∠DEF=90 o
∵∠A=90 o -∠C=60 o
∴AD=
AE 2121则t=4 10- - 2t
30 o o
60 o o
1单位 / s 2单位 / s 5 30 o o
F（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由. ③当∠EFD=90 o 时, 此种情况不存在。
解析：
1单位/ s 2单位/ s 5 30 o o
综上所述，当t= 25或t=4时△DEF为直角三角形 A EDC B 30 o o
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
小结
篇三：两动一定求最小值的方法
卷第 期 年 月吉林工程技术师范学院学报 叫 】 求二次型最大、最小值方法初探 埘廿 卸 髑 ’ 怆 豇 哪 册 咄 唰 懿 玎脚 吐 名‰取最大、最小值。具有代表性的是这类问 菇 戈‰的最大、最小值的求法设 是对称矩阵令 砌 茗‰ ∞吨锄吴丽萍 四平职业大学教育与传媒系吉林四平 摘要】关于求二次型 名 茗 缸的最大、最小值在许多实际问题中都有广泛的应用。这类问题可化为石是在一组单位向量中的变量的优化问题。本文介绍了几种求二次型在一定限制条件下的最大、最小值的方法。 关键词 二次型最大、最小值条件优化 中图分类号】 【文献标识码 【文章编号】 。 — 一 — 衄 — — 口咖枷旷尉蚴砌 以如胁如却孵 嘛贼 删洳如们毋 瓤增五轨 醌池 壬 】【 衄 妇 越 船 啦 Ⅱ 缸 幻 曲 曲 皿 出【 丑 逾 Ⅱ血 叩血 哆关于求二次型的最大、最小值在许多实际问题中都有广泛的应用许多实际问题最后都可转化为要寻找在一些特定集合内的菇值使得二次型 菇题可化为茹是在一组单位向量中的变量的优化问题。这类问题其实并不是很抽象例如在限制条件石 石 下取得的最大、最小值。从几何意义上去分析若令茹 曲面面条件茹 茹 从几何图形上看表示一圆柱面此圆柱与以上曲面的截面是点集 茗名 表示在石。 茹 情况下的 茄茗 这些点的高度值是 石 石 缸的约束值。从几何意义上看条件优化问题确定的是截面曲线上最高点和最低点的位置。一般当一个二次型没有交叉项时很容易得到在茹 条件下 石 茹 缸的最大、最小值。 在石死 条件下一般二次型 方法定理 的最大特征值 。 是 的最小特征值如果菇是对应 的单位特征向量铂那么名 缸的值等于 如果石是对应 的单位特征向量省 ■石的值等于 。收稿日期 — — 作者简介吴丽萍 一 女吉林四平人四平职业大学教育传媒系讲师硕士主要从事代数教学研究。 谊 血 茹 锄 、 令 当茗属于砰时求 戈 菇‰、’戈、 材 蒯㈦缸 则 石 石 九的图形是空间一 那么肘是 万方数据 ・吉林工程技术师范学院学报 年 月证明 的正交对角化是 我们知道当石 尸时石 缸 宰同样对所有 茹 由 且 毋 如 毋 毋 。特别地 充分必要条件是忪 这样如果茗和 是任意单位向量石‰和 观可以认为是具有同样值的集合。为简化记号我们假设 是以口≥ ≥ 为特征值的 × 矩阵重排 的列 特征向量 使得 ‘ ‰码 和 单位向量其坐标 儿注意到町 魄 ≤町 可 ≤将不等式相加我们有 观 町 珂 叮 ≤町 町 町 口 儿 儿 时 珂 口。所以事实上膨 口且由 木 可知对应于 。的向量省是矩阵 的特征向量 其原因是石 这样肘 口 。 。 。■“。从而证明了关于 的论断。同理可证明 是最小特征值即 值且戈‰的这个值当戈 口时可以取到。 方法定理 设 和 。如定理 所示。在条件菇 菇 。 限制下石‰的最大值是第二大特征值 且这个最大值可以在菇是对应 的特征向量 处达到。定理 的证明和上面讨论的类似即定理化为二次型的矩阵是对角矩阵的情形。例如求 石。 戈 茹。 的最大值其限制条件是石 石 和石 这里‰ 。注意到 是二次型对应的矩阵的最大特征值 对应的单位特征向量。解如果 的坐标为石 石 石 那么限制石 ‘ 简单意味着省。 对这样一个单位向量石 《 且 石 算 茹 菇 菇≤ 菇 戈 茹菇 在这样的限制条件下二次型的最大值不超过 且这个最大值可在石 处达到而这就是二次型对应矩阵的第二大特征值对应的特征向量。 结论推论设 是一个 ×儿对称矩阵且其正交对角化为 卯将对角矩阵 上的元素重新排列使得 。≥ ≥…≥ 。且 的列是其对应的单位特征向量Ⅱ ・ 。那么对尼 … 时在条件石气 石’ …石 承一 限制下菇‰的最大值是特征值 。且这个最大值在石 如处可以达到。参考文献 锄 舡 ∞ “ 华罗庚计划经济大范围最优化的数学理论 科学通 责任编辑张雷 、、 、 王萼芳石生明高等代数 北京高等教育出版社 弛 曲 瞰 以 — 报 阿给定月 中的 口 旷 口 这样由 的定义可知 ≤口然而当 ∞ 万方数据
篇四：两动一定求最小值的方法
识引入 如图，已知动点P 在直线L 上运动，点M 、N 在直线两侧，求|PM|+|PN| 的最小值 分析：根据三角形两边之和大于第三边易知，当且仅当P P 、M M 、N N
三点共线时 |PM|+|PN| 取最小值
为 为|MN| 例：直线L ：y=x ，点M(1,3) 、点N(2,1) 在直线两侧，求|PM|+|PN| 的最小值 答案：5
思考：当 当M 、N 在直线L 同侧时又该如何 ？
答案：5 结论：在平面中，直线上动点 与异侧两定点距离和有最小值， 当且仅当三点共线取得最小值，最小值为两定点 间的距离
当定点为同侧时，先做出其中一点的对称点， 再利用三点共线求最小值 比如把点M 改为（3,1 ）
理论迁移— 空间几何 探究：
这也是直线上的动点与两定点距离和最小值问题， 是否能将空间问题转化为平面问题 ？
分析：
理论迁移— 空间几何
理论迁移— 空间几何
理论迁移— 空间几何 答案：
74变式：蚂蚁爬行问题
理论迁移— 圆锥曲线 如图，已知抛物线：y 2 =4x 上动点P ，焦点为F, 点 点M(3,2), 求|PM|+|PF| 的最小值 探究：
如果把抛物线看成直线，就变成直线上的动点与同侧两定点距离和最小值问题， 如何将同侧关系转化为异侧关系 ？
理论迁移— 圆锥曲线 如图，已知抛物线：y 2 =4x 上动点P ，焦点为F, 点 点M(3,2), 求|PM|+|PF| 的最小值 分析：
如图，利用抛物线定义，可以将焦半径|PF| 转化为|PH| ，故最小值为点 点M 到准线的距离 答案：4
理论迁移— 圆锥曲线 变式：
如图，已知抛物线：y 2 =4x 上动点P ，过P 点作x=-1 的垂线段为PH, 点M(2,4),求 求|PM|+|PH| 的最小值 答案：
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