湖南大学研究生原题数学6篇

湖南大学研究生原题数学6篇湖南大学研究生原题数学　2017年湖南大学数学与计量经济学院F0601专业综合之概率论与数理统计考研复试核心题库�一�说明�本资料为学员内部使用�整理汇编了2下面是小编为大家整理的湖南大学研究生原题数学6篇,供大家参考。

篇一：湖南大学研究生原题数学

017 年湖南大学数学与计量经济学院 F0601 专业综合之概率论与数理统计考研复试核心题库�一� 说明�本资料为学员内部使用�整理汇编了 2017 考研复试重点题及历年复试常考题型。

　———————————————————————————————————————— 一、计算题

　1� 设总体 X 服从几何分布,即 其中 为该总体的样本.分别求 的概率分布. 【答案】容易看出

　所以

　同样可以得到

　此式对 k=l 也成立,因为 所以 的分布列为

　 可以验证上述分布列满足非负性和正则性两个基本要求.事实上,由于 所以从而 而其和

　 下面求 的分布列.由于

　所以

　类似有

　所以 的分布列为

　同样可以验证上述分布列满足非负性和正则性两个基本要求.这里非负性是显然的,而其和

　 2� 设随机变量 X 与 Y 相互独立,其联合分布列为 表

　 试求联合分布列中的 a,b,c. 【答案】先对联合分布列按行、按列求和,求出边际分布列如下: 表

　由 X 与 Y 的独立性,从上表的第 2 行、第 2 列知 6=�6+4/9��6+1/9�,从中解得 b=2/9,再从上表的第 2 行、第 1 列知 从中解得 a=1/18,最后由联合分布列的正则性知: 由此得 c=1/6.

　3� 设 10 件产品中有 4 件不合格品�从中任取两件�已知其中一件是不合格品�求另一件也是不合格品的概率. 【答案】记事件 为“第 i 次取出不合格品”�i=1�2�D 为“有一件是不合格品”�E 为“另一件也是不合格品”.因为 D 意味着�第一件是不合格品而第二件是合格品�或第一件是合格品而第二件 是 不 合 格 品 � 或 两 件 都 是 不 合 格 品 . 而 ED 意 味 着 � 两 件 都 是 不 合 格 品 . 即因为

　 所以根据题意得

　 4� 设二维随机变量 在边长为 2,中心为�0,0�的正方形区域内服从均匀分布,试求 【答案】记

　因为 服从 D 上的均匀分布,且 D 的面积 ,G 的面积 所以所求概率为

　 5� 设 是来自正态分布的样本. �1�在 已知时给出 的一个充分统计量� �2�在 已知时给出 的一个充分统计量. 【答案】�1�在 已知时,样本联合密度函数为

　 令 , 取 , 由 因 子 分 解 定理,为 的充分统计量. �2�在 已知时,样本联合密度函数为

　 令 ,取

　由因子分解定理, 为 的充分统计量.

　6� 某建筑工地每天发生事故数的现场记录如下� 表 1

　试在显著性水平 下检验这批数据是否服从泊松分布. 【答案】本题与上题完全类似�仍为检验总体是否服从泊松分布的分布拟合检验问题.由于有几类的观测个数偏少�为使用近似分布�需要把后面四类合并为一类.于是我们把总体分成 4 类�在原假设下�每类出现的概率为�

　未知参数 采用最大似然估计得�

　将 代入可以估计出诸 于是可计算出检验核计量 如下表� 表 2

　若 取 查 表 知 故 拒 绝 域 为 由 于故不拒绝原假设�在显著性水平为 0.05 下可以认为这批数据服从泊松分布.此处检验的 p 值为

　 7� [1]设总体 X 的密度函数为 �其中 为未知参数� 为抽自此总体的简单随机样本�求 的置信水平为 的置信区间. [2]设某电子产品的寿命服从指数分布�其密度函数为 �现从此批产品中抽取容量为9 的样本�测得寿命为�单位�kh�

　求平均寿命 的置信水平为 0.9 的置信区间和单侧置信上、下限. 【答案】由指数分布和伽玛分布的关系知 �根据伽玛分布的性质�

　从而.

　因此可得 的置信水平为 的置信区间为 . [2]这是题[1]的一个具体应用.计算得 查表可得�

　 根据上题结论可知�的置信水平为 0.9 的置信区间为[0.0088,0.0272],单侧置信上限为 0.0245,单侧置信下限为 0.0102.所以�平均寿命 1A 的置信水平为 0.9 的置信区间[36.76�113.64],单侧置信上限为 98.04�单侧置信下限为 40.82.

　8� 设曲线函数形式为 问能否找到一个变换将之化为一元线性回归的形式�若能�试给出�若不能�说明理由. 【答案】能.令 则变换后的函数形式为 v=a+bu.

　二、证明题

　9� 设由可建立一元线性回归方程� 是由回归方程得到的拟合值�证明�样本相关系数 r 满足如下关系

　上式也称为回归方程的决定系数. 【答案】因为 即 将之代入样本相关系数 r 的表达式中�即有

　证明完成.

　 10�设 是来自的样本�证明 没有无偏估计. 【答案】�反证法�假设 为 的无偏估计�则

　由上式可知�等式的左边关于 处处可导�而等式的右边在 =0 处不存在导数.因此�假不成立�即 没有无偏估计.

　11�设 X 为非负连续随机变量�证明�对

　【答案】设 X 的密度函数为 p�X��则有

　12�设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布�试证� 都服从区间�0�1�上的均匀分布. 【答案】因为 X 的密度函数为

　又因为 的可能取值范围是�0�1��且 是严格单调减函数�其反函数为 所以 的密度函数为

　即 又 由 知也服从区间�0�1�上的均匀分布.结论得证.

　 2017 年湖南大学数学与计量经济学院 F0601 专业综合之概率论与数理统计考研复试核心题库�二� 说明�本资料为学员内部使用�整理汇编了 2017 考研复试重点题及历年复试常考题型。

　———————————————————————————————————————— 一、计算题

　1� 某城市中共发行 3 种报纸 A�B�C�在这城市的居民中有 45%订阅 A 报、35%订阅 B 报、30%订阅 C 报�10%同时订阅 A 报 B 报、8%同时订阅 A 报 C 报、5%同时订阅 B 报 C 报、3%同时订阅 A�B�C 报�求以下事件的概率� �1�只订阅 A 报的� �2�只订阅一种报纸的� �3�至少订阅一种报纸的� �4�不订阅任何一种报纸的. 【答案】仍用 A�B�C 分别表示订阅 A�B�C 报�则有 P�A�=0.45�P�B�=0.35�P�C�=0.30�P�AB�=0.10�P�AC�=0.08�P�BC�=0.05�P�ABC�=0.03. �1�P�只订阅 A 报�=

　 �2�因为 P�只订阅一种报纸�=其中

　 所以 P�只订阅一种报纸�=0.30+0.23+0.20=0.73. �3�P�至少订阅一种报纸�

　 �4�P�不订阅任何一种报纸�=

　 2� 设回归模型为 现收集了 15 组数据�经计算有后经核对�发现有一组数据记录错误�正确数据为�1.2�32.6��记录为�1.5�32.3�. �1�求 修正后的 LSE; �2�对回归方程作显著性检验

　�3�若 给出对应响应变量的 0.95 预测区间. 【答案】�1�由于有一组数据记录错误�应将 作修正�修正后的量分别记为则

　根据修正后的数据可计算得到 的 LSE 为

　 �2�利用修正后的数据可计算三个平方和为

　因而检验统计量 若取显著性水平 查表知�1�13�=4.67�拒绝域为 由于检验统计量落入拒绝域�因此回归方程是显著的.此处�回归方程显著性检验的 P 值为

　这是一个非常小的概率�说明回归方程显著性很高. �3�对于 其对应相应变量的预测值为

　而 查表知

　 因此响应变量的 0.95 预测区间为

　 3� 设 A�B�C 为三事件�试表示下列事件� �1�A�B�C 都发生或都不发生� �2�A�B�C 中不多于一个发生� �3�A�B�C 中不多于两个发生� �4�A�B�C 中至少有两个发生. 【答案】⑴

　�2�

　�3�

　�4�

　 4� 设 是来自正态总体的样本, 是来自另一正态总饵的样本,这两个样本相互独立,试给出 的充分统计量. 【答案】样本石 的联合密度函数为

　 其中取

　 由因子分解定理,1 是的充分统计量.

　5� 设求 a 和 的 UMVUE. 【答案】

　的联合密度函数为�

　 设 是 0 的任一无偏估计�则

　即

　 将�*�式两端对 a 求导�并注意到有

　 这说明 即

　于是

　又 从而 是 a 的 UMVUE. 我们将�**�式的两端再对 a 求导�得

　由此可以得到 下一步�将�*�式两端对 求导�略去几个前面已经指出积分为 0 的项�有

　这表明

　记

　由此可得到 因而

　由于

　 所以�

　故 是 的 UMVUE.

　 6� 为估计某台光谱仪测量材料中金属含量的测量误差�特置备了 5 个金属试块�其成分、金属含量、均匀性都有差别�设每个试块的测量值都服从正态分布�现对每个试块重复测量 6 次�计算得其样本标准差分别为 试求 的 0.95 置信区间. 【答案】从题意可知�这里 可以看作来自正态总体 的容量为 n=6 的样本标准差�i=1,2,…,5�由此可知 即由于各试块的测量可认为相互独立的�故有

　从而

　即

　 故 的 置信区间为 现算出 对 �查表知 代入可算得 的 0.95 置信区间为

　 7� 求一回归直线 y=A+Bx�使所有样本点 到该直线的垂直距离平方和最小. 【答案】点 到直线 y=A+Bx 的垂直距离的平方为

　如今要求 A 与 B�使

　使用微分法�并命其导数为零�可得如下两个方程�

　 由�*�式可得 并将其代入�**�式�可得

　注意到恒等式

　可将上式化为

　使用相同的记号

　则上式可表示为

　整理后可得如下 的二次方程�

　由于判别式 故此二次方程有实根.

　这里 是斜率�根据散点图上的上升趋势或下降趋势选择备表达式中的士号.

　8� 为考察某种维尼纶纤维的耐水性能�安排了一组试验�测得其甲醇浓度 x 及相应的“缩醇化度”y数据如下� 表 1

　�1�作散点图� �2�求样本相关系数� �3�建立一元线性回归方程� �4�对建立的回归方程作显著性检验

　【答案】�1�散点图如图�y 有随着 x 增加而増加趋势.

　图 �2�由样本数据可以算得

　 因此样本相关系数

　�3�应用最小二乘估计公式�于是一元线性回归方程为

　�4�首先计算几个平方和

　将各平方和移入方差分析表�继续计算�可以得到 表 2

　若取 查表知 拒绝域为 现检验统计量值落入拒绝域�因此在显著性水平 0.01 下回归方程是显著的.此处�回归方程显著性检验的 p 值为�用Matlab 语句表示�

　 二、证明题

　9� 设正态总体的方差 为已知值�均值 只能取 或 两值之一� 为总体的容量 n 的样本均值.考虑如下柃验问题

　若 检 验 拒 绝 域 取 为 则 检 验 犯 第 二 类 错 误 的 概 率 为 �1�试验证� 从而在 给定时�有 �2�若 n 固定�当 减小时 怎样变化�当 减小时 怎样变化� �3�当 并且要求 时�样本容量 n 至少应为多少� 【答案】�1�由于 故检验犯第二类错误的概率为

　这给出 也即 从而在 给定时�有

　 �2�若 n 固定�当 减小时� 就变大�由 为常量可知就变小�从而导致 增大. 同理可知�当 减小时 增大. 这说明�在样本量给定时�犯二类错误的概率一个变小另一个就会变大�不可能找到一个使得犯两类错误的概率都变小的检验方案. �3�由 查表可得 于是

　将 代入�有

　即 n 至少应为 468.

　10�证明:若 则对 有

　并由此写出 与

　【 答 案 】

　由 t 变 量 的 结 构 知 ,t 变 量 可 表 示 为 其 中 且 u 与 v 独立,从而有由于

　 将两者代回可知,在 时,若 r 为奇数,则 若 r 为偶数,则

　证明完成.进一步,当 r=l 时, �此时要求 否则均值不存在�,当 r=2时,�此时要求 否则方差不存在�.

　11�在回归分析计算中�常对数据进行变换�

　其中 是适当选取的常数. �1�试建立由原始数据和变换后数据得到的最小二乘估计、总平方和、回归平方和以及残差

　 平方和之间的关系� �2�证明�由原始数据和变换后数据得到的 F 检验统计量的值保持不变. 【答案】�1�经变换后�各平方和的表达式如下�

　 所以由原始数据和变换后数据得到的最小二乘估计间的关系为

　在实际应用中�人们往往先由变换后的数据求出 然后再据此给出 它们的关系为

　 总平方和、回归平方和以及残差平方和分别为

　�2�由�1�的结果我们知道 即说明了由原始数据和变换后数据得到的 F 检验统计量的值保持不变.

　12�试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性:若随机变量 ,且X与Y独立,则

　【答案】因为

　所以由 X 与 Y 的独立性得

　这正是泊松分布 的特征函数,由唯一性定理知 .

　 2017 年湖南大学数学与计量经济学院 F0601 专业综合之概率论与数理统计考研复试核心题库�三� 说明�本资料为学员内部使用�整理汇编了 2017 考研复试重点题及历年复试常考题型。

　———————————————————————————————————————— 一、计算题

　1� 从数字 1�2�…�9 中可重复地任取 n 次�求 n 次所取数字的乘积能被 10 整除的概率. 【答案】记事件 A 为“至少取到一次 5”�事件 B 为“至少取到一次偶数”�则所求概率为 P �AB��因为

　所以

　下表对一些不同的 n�给出 P�AB�的值� 表

　从上表可以看出�P�AB�是随着 n 的増加而增加的�直至趋向于 1�这是符合人们直观感觉的.

　2� 甲、乙两个校对员彼此独立对同一本书的样稿进行校对�校完后�甲发现 a 个错字�乙发现b 个错字�其中共同发现的错字有 c 个�试用矩法给出如下两个未知参数的估计� �1�该书样稿的总错字个数� �2�未被发现的错字数. 【答案】�1�设该书样稿中总错字的个数为 甲校对员识别出错字的概率为 乙校对员识别出错字的概率为 由于甲、乙是彼此独立地进行校对�则同一错字能被甲、乙同时识别的概率为根据频率替换思想有

　由独立性可得矩法方程 解之得

　�2�未被发现的错字数的估计等于总错字数的估计减去甲、乙发现的错字数�即

　譬如�若设 a=120,b=124,c=80,则该书样稿中错字总数的矩法估计为 而未被发现的错字个数的矩法估计为 186-120-124+80=22 个.

　 3� 在一批灯泡中抽取 300 只作寿命试验�其结果如下� 表

　在显著性水平为 0.05 下能否认为灯泡寿命服从指数分布

　【答案】这是一个检验总体是否服从指数分布 的假设检验问题. 本题中总体分成 4 类�在原假设成立下�每类出现的概率 及 分别为

　 因而�检验的统计量为

　这里 k=4�检验拒绝域为 若取 则 由于 未落入拒绝域�故不拒绝原假设�在显著性水平为 0.05 下可以认为灯泡寿命服从指数分布此处检验的 p 值为

　 4� 设曲线函数形式为 试给出一个变换将之化为一元线性回归的形式. 【答案】本题相对于前两题来说�变换形式稍显复杂�根据原函数形式�可考虑作如下变换�

　变换后的线性函数为 进一步�可将之规范化�令

　则最后的回归函数化为

　 5� 设随机变量 X 服从参数为μ=160 和 的正态分布�若要求 �允许最大为多少� 【答案】由题设条件 得 从而查表得或 这表明矿最大为 24.32.

　6� 在生产力提高的指数研究中已求得三个样本...

篇二：湖南大学研究生原题数学

021 考研数学真题及答案解析数学（一）一、选择题（本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上. ）(1)函数1 ,0( )=1, 0xexf xxx  ,在 0 x  处(A)连续且取极大值. (B)连续且取极小值.(C)可导且导数为 0. (D)可导且导数不为 0.【 答案】D.【 解析】因为0 01lim ( )=lim 1 (0)xx xef x fx   ，故 ( ) f x 在 0 x  处连续；因为20 0 011( ) (0) 1 1lim =lim lim0 0 2xxx x xef x f e xxx x x      ，故1(0)2f  ，正确答案为 D.(2)设函数   , f x y 可微，且2( 1, ) ( 1)xf x e x x    ，2 2( , ) 2 ln f x x x x  ，则 (1,1) df (A) dx dy  . (B) dx dy  . (C) dy . (D) dy  .【 答案】C.【 解析】21 2( 1, ) ( 1, ) ( 1) 2 ( 1)x x xf x e e f x e x x x          ①2 21 2( , ) 2 ( , ) 4 ln 2 f x x xf x x x x x    ②分别将00xy ，11xy 带入①②式有1 2(1,1) (1,1) 1 f f     ，1 2(1,1) 2 (1,1) 2 f f    联立可得1 (1,1)0f  ，2 (1,1)1f  ，1 2(1,1) (1,1) (1,1) df f dx f dy dy      ，故正确答案为 C.(3)设函数2sin( )1xf xx在 0 x  处的 3 次泰勒多项式为2 3ax bx cx   ，则(A)71, 0,6a b c     . (B)71, 0,6a b c    .(C)71, 1,6a b c       . (D)71, 1,6a b c      .【答案】A.【解析】根据麦克劳林公式有33 2 3 3 32sin 7( ) ( ) [1 ( )] ( )1 6 6x xf x x o x x o x x x o xx            2021考研数学一真题答案解析

　2故71, 0,6a b c     ，本题选 A.(4) 设函数   f x 在区间   0,1 上连续，则  10f x dx (A)12 1 1lim2 2nnkkfn n    . (B)12 1 1lim2nnkkfn n    .(C)211 1lim2nnkkfn n    . (D)2012lim2nxkkfn n    .【答案】B.【 解 析 】

　由 定 积 分 的 定 义 知 ， 将   0,1 分 成 n 份 ， 取 中 间 点 的 函 数 值 ， 则10 12 1 1( ) lim ,2nn kkf x dx fn n      即选 B.(5)二次型2 2 21 2 3 1 2 2 3 3 1( , , ) ( ) ( ) ( ) f x x x x x x x x x       的正惯性指数与负惯性指数依次为(A) 2,0 . (B) 1,1 . (C) 2,1 . (D) 1,2 .【 答案】B.【 解析】2 2 2 21 2 3 1 2 2 3 3 1 2 1 2 2 3 1 3( , , ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 f x x x x x x x x x x x x x x x x          所以0 1 11 2 11 1 0A     ，故特征多项式为1 1| | 1 2 1 ( 1)( 3)1 1E A            令上式等于零，故特征值为 1  ， 3 ， 0 ，故该二次型的正惯性指数为 1，负惯性指数为 1.故应选 B.(6)已知1101     ，2121     ，3312     ，记1 1   ，2 2 1k      ，3 3 1 1 2 2l l        ，若1 ，2 ，3 两两正交，则1l ，2l 依次为(A)5 1, .2 2(B)5 1, .2 2 (C)5 1, .2 2 (D)5 1, .2 2 【答案】A.【解析】利用斯密特正交化方法知2 12 2 11 10[ , ]2[ , ]0           ，3 1 3 23 3 1 21 1 2 2[ , ] [ , ][ , ] [ , ]            ，故3 111 1[ , ] 5[ , ] 2l    ，3 222 2[ , ] 1[ , ] 2l    ，故选 A.(7)设 , A B 为 n 阶实矩阵，下列不成立的是2021考研数学一真题答案解析

　3(A)   2TA Or r AO A A   (B)   2TA ABr r AO A   (C)   2TA BAr r AO AA   (D)   2TA Or r ABA A   【答案】C.【解析】(A) ( ) ( ) 2 ( ).TTA Or r A r A A r AO A A     故 A 正确.(B) AB 的列向量可由 A 的列线性表示，故 ( ) ( ) 2 ( ).0TT TA AB A Or r r A r A r AO A A            (C) BA 的列向量不一定能由 A 的列线性表示.(D) BA 的行向量可由 A 的行线性表示， ( ) ( ) 2 ( ).0TT TA BA A Or r r A r A r AO A A            本题选 C.(8)设 A ， B 为随机事件，且 0 ( ) 1 P B   ，下列命题中不成立的是(A)若 ( | ) ( ) P A B P A  ，则 ( | ) ( ) P A B P A  .(B)若 ( | ) ( ) P A B P A  ，则 ( | ) ( ) P A B P A (C)若 ( | ) ( | ) P A B P A B  ，则 ( | ) ( ) P A B P A  .(D)若 ( | ) ( | ) P A A B P A A B    ，则 ( ) ( ) P A P B  .【答案】D.【解析】( ( )) ( )( | )( ) ( ) ( ) ( )P A A B P AP A A BP A B P A P B P AB  ( ( )) ( ) ( ) ( )( | )( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A A B P AB P B P ABP A A BP A B P A B P A P B P AB    因为 ( | ) ( | ) P A A B P A A B    ，固有 ( ) ( ) ( ) P A P B P AB   ，故正确答案为 D.(9)设      1 1 2 2, , , , , ,n nX Y X Y X Y  为来自总体  2 21 2 1 2, ; , ; N      的简单随机样本，令1 21 11 1ˆ, , , ,n ni ii iX X Y Y X Yn n          则(A)ˆ 是  的无偏估计， 2 21 2 ˆDn (B)ˆ 不是  的无偏估计， 2 21 2 ˆDn (C)ˆ 是  的无偏估计， 2 21 2 1 22ˆDn    (D)ˆ 不是  的无偏估计， 2 21 2 1 22ˆDn    【答案】C.【解析】因为 , X Y 是二维正态分布，所以 X 与 Y 也服从二维正态分布，则 X Y  也服从二维正态分布，即1 2ˆ( ) ( ) ( ) ( ) E E X Y E X E Y            ，2021考研数学一真题答案解析

　42 21 2 1 22ˆ( ) ( ) ( ) ( ) cov( , ) D D X Y D X D Y X Yn          ，故正确答案为 C.(10) 设1 2 16, , X X X  是 来 自 总 体   ,4 N  的 简 单 随 机 样 本 ， 考 虑 假 设 检 验 问 题 ：0 1: 10, : 10. H H       x  表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为   11 W X   ，其中161116iiX X，则 11.5   时，该检验犯第二类错误的概率为(A)   1 0.5  (B)   1 1 (C)   1 1.5  (D)   1 2 【答案】B.【解析】所求概率为 { 11} P X 1(11.5, )4X N  ，11.5 11 11.5{ 11} 1 (1)1 12 2XP X P           故本题选 B.二、填空题（本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.请将答案写在答题纸指定位置上请将答案写在答题纸指定位置上. ）(11)202 2dxx x .【 答案】4【 解析】2 2 00 0arctan( 1)2 2 ( 1) 1 2 4 4dx dxxx x x            (12)设函数 ( ) y y x  由参数方程22 1, 04( 1) , 0ttx e t xy t e t x       确定,则202td ydx .【 答案】23.【 解析】由4 22 1ttdy te tdx e，得22 3(4 4 2)(2 1) (4 2 )2(2 1)t t t t ttd y e te e te t edx e    ，将 0 t  带入得20223td ydx .(13)欧拉方程24 0 x y xy y      满足条件 (1) 1, (1) 2 yy  得解为 y  .【 答案】2x .【 解析】令tx e  ，则222,dy d y dyxy x ydt dx dx     ，原方程化为224 0d yydx  ，特征方程为24 0    ，特征根为1 22, 2      ，通解为2 2 2 21 2 1 2t ty C e C e C x C x     ，将初始条件(1) 1, (1) 2 yy  带入得1 21, 0 C C   ，故满足初始条件的解为2y x  .(14) 设  为 空 间 区 域 2 2( , , ) 4 4,0 2 x y z x y z     表 面 的 外 侧 ， 则 曲 面 积 分2 2x dydz y dzdx zdxdy  .【 答案】

　4  .2021考研数学一真题答案解析

　5【 解析】由高斯公式得原式=20(2 2 1) 4Dx y dV dz dxdy      .(15)设ijA a  为 3 阶矩阵，ijA 为代数余子式，若 A 的每行元素之和均为 2，且 3 A  ，11 21 31A A A   = .【 答案】32.【 解析】1 11 2 11 1A               ,1, 2, 11A           ,则*A 的特征值为A，对应的特征向量为111     ,*AA   而11 21 31*12 22 3213 23 33,A A AA A A AA A A     11 21 31*12 22 3213 23 331 11 11 1A A AAA A A AA A A                               ，即11 21 3132A A A    .(16)甲乙两个盒子中各装有 2 个红球和 2 个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球.令 X , Y 分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则 X 与 Y 的相关系数 .【答案】15.【解答】联合分布率(0,0) (0,1) (1,0) (1,1)( , )3 1 1 310 5 5 10X Y      ,0 11 12 2X    0 11 12 2Y    1cov( , )20X Y  ，1 1,4 4DX DY   ,即15XY  .三、解答题（本题共 6 小题，共 70 分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）(17)(本题满分 10 分)求极限20011lim1 sinxtxxe dte x     .【答案】12.【解析】解：2 20 00 01 sin 11lim lim1 sin ( 1)sinx xt tx xx xe dt x e dte x e x           又因为22 2 3 30 01(1 ( )) ( )3x xte dt t o t dt x x o x       ，故原式=3 3 3 3 2 2201 1 1( ( ))(1 ( )) ( )3! 3! 2limxx x o x x x o x x x o xx       =2 2201( )12lim2xx o xx .2021考研数学一真题答案解析

　6(18)(本题满分 12 分)设11( ) ( 1,2, )( 1)nx nnu x e x nn n    ，求级数1( )nnu x的收敛域及和函数.【答案】(1 )ln(1 ) , (0,1)1( ), 11xxex x x xeS xexe       .【解析】11 11( ) ( ) ,( 1)nx nnn nS x u x e xn n         收敛域 (0,1] ,11( ) , (0,1]1xnxxneS x e xe  1 1121 1 11( )( 1) 1n nnn n nx xS x xn n n n          ln(1 ) [ ln(1 ) ] x x x x       (1 )ln(1 ) , (0,1) x x x x     2 21(1) lim ( ) 1xS S x (1 )ln(1 ) , (0,1)1( ), 11xxex x x xeS xexe       (19)(本题满分 12 分)已知曲线2 22 6:4 2 30x y zCx y z     ，求 C 上的点到 xoy 坐标面距离的最大值.【答案】66【解析】设拉格朗日函数   2 2 2, , , , 2 6 (4 2 30) L x y z z x y z x y z             2 4 0xL x u   4 2 0 Ly y u   2 0zL z u    2 22 6 x y z   4 2 30 x y z   解得驻点：

　(4,1,12),( 8, 2,66)  C 上的点 ( 8, 2,66)   到 xoy 面距离最大为 66.(20)(本题满分 12 分)设2D R  是有界单连通闭区域，2 2( ) (4 )DI D x y dxdy   取得最大值的积分区域记为1D .(1)求1( ) I D 的值.(2)计算2 2 2 214 42 2( ) (4 )4x y x yDxe y dx ye x dyx y   ，其中1D  是1D 的正向边界.【 答案】

　  .【 解析】（1）由二重积分的几何意义知：2 2(D) (4 )DI x y d    ，当且仅当2 24 x y   在 D 上大于 0 时， (D) I 达到最大，故2 214 ：

　D x y   且2 2210 0(D )= (4 ) 8 I d r rdr    .(2)补2 2 22 :4 D x y r   （ r 很小），取2D 的方向为顺时针方向，2 2 2 214 42 2( ) (4 )4x y x yDxe y dx ye x dyx y   =2021考研数学一真题答案解析

　72 2 2 2 2 2 2 21 2 24 4 4 42 2 2 2( ) (4 ) ( ) (4 )4 4x y x y x y x yD D Dxe y dx ye x dy xe y dx ye x dyx y x y             2 22 2 22 2 21 1 14 2r rD D De xdx ydy e ydx xdy dr r r            .(21)(本题满分 12 分)已知1 11 11 1aA aa        .(1)求正交矩阵 P ,使得TP AP 为对角矩阵；(2)求正定矩阵 C ,使得2( 3) . C a E A   【答案】(1)1 1 13 2 61 1 13 2 61 203 6P          ；(2)51 135 113 31 513 3C           .【解析】(1)由21 11 1 ( 1) ( 2) 01 1aE A a a aa             得1 2 32, 1 a a        当12 a    时2 1 1 1 0 1(( 2) ) 1 2 1 0 1 11 1 2 0 0 0a E A r                   的特征向量为1111     ，当2 31 a      所1 1 1 1 1 1(( 1) ) 1 1 1 0 0 01 1 1 0 0 0a E A r                      的特征向量为2 31 11 , 10 2                   ，令3 1 21 2 31 1 13 2 61 1 1, ,3 2 61 203 6P                   ，则211TaP AP aa         ，(2)21( 3) ) (( 3) 44T TP C P P a E A P a E           2021考研数学一真题答案解析

　81 14 24 2T T TP CPP CP P CP                  ，故51 1315 12 13 321 513 3TC P P                    .(22)(本题满分 12 分)在区间 (0,2) 上随机取一点，将该区间分成两段，较短的一段长度记为 X ,较长的一段长度记为Y ,令YZX .(1)求 X 的概率密度；(2)求 Z 的概率密度.(3)求XEY   .【答案】(1)1,0 1( )0,xX f x   其他；(2)22, 1( 1) ( ) ( ( ))0,其他Z Zzz f z F z    .(3) 1 2ln2   .【解析】(1)由题知：1,0 1( )0,xX f x   其他；(2)由 2 Y X   ，即2 XZX ，先求 Z 的分布函数： 2 2( ) 1ZXF z P Z z P z P zX X                当 1 z  时， ( ) 0ZF z  ；当 1 z  时，2102 2 2( ) 1 1 1 1 11 1zZF z P z P X dxX z z                   ；22, 1( 1) ( ) ( ( ))0,其他Z Zzz f z F z    ；(3)101 1 2ln22 2X X xE E dxY X x               .2021考研数学一真题答案解析

　...

篇三：湖南大学研究生原题数学

017 年湖南大学金融不统计学院 610 数学分析考研导师圈点必考题汇编�一� 说明�①本资料为 VIP 学员内部使用�整理汇编了历届导师圈点的重点试题及常考试题。

　—————————————————————————————————————————— 一、证明题

　1� 设函数列 在区间 I 上一致收敛�且对每个 n�都是 I 上的有界函数(丌要求一致有界).证明� 在 I 上必一致收敛. 【答案】

　 首先证明 f(x)�g(x)在 I 上有界. 存在正整数使得

　而 所以

　同理可证 g(x)在 I 上也有界.设

　其次证明 在 I 上一致有界.由 故存在正整数 当 时有

　因此 当 时有

　 令��则有

　最后证明 取正整数 N�使得当 n>N 时�有

　于是当 n>N 时�有

　 故 在 I 上一致收敛于 f(x)g(x).

　2� 设 在上连续幵且单调递减�证明�函数 在 单调递减. 【答案】对 F(x)求导�得

　由 f(x)在 上连续且单调递减�得 �所以 即函数上单调递减.

　 3� 证明�当 时有丌等式

　【答案】令 则 于是 因 在 上递减�且根据积分第二中值定理�存在 使得

　故

　 二、解答题

　4� 设 在上连续可导�且

　求证�

　【答案】设 满足

　显然 满足�2�式.于是

　 所以 即�1�式成立。

　5� 求曲线的全长. 【答案】将曲线改写成参数方程�并计算微弧�

　 因此

　 6� 设�其中 为可微函数�求

　【答案】

　)

　7� 若曲线以极坐标 表示�试给出计算的公式�幵用此公式计算下列曲线积分� (1) 其中 L 为曲线 的一段� (2) 其中 L 为对数螺线 在圆 内的部分. 【答案】因 L 的参数方程为

　且

　8� 根据图写出定义在 上的分段函数 和�的解析表示式.

　图 【答案】由直线的点斜式方程容易得到�

　 9� 计算其中 L 是椭圆 方向沿逆时针方向. 【答案】

　在仸何丌包含原点的区域内均有

　因此对仸何完全落在 L 内部且包含原点的封闭曲线 C�在 L 和 C所夹的区域内应用格林公式�有

　其中 表示在曲线 C上方向沿顸时针方向. 由此可得

　选取 适当小�使 完全落在 L 内�则有

　 2017 年湖南大学金融不统计学院 610 数学分析考研导师圈点必考题汇编�二� 说明�①本资料为 VIP 学员内部使用�整理汇编了历届导师圈点的重点试题及常考试题。

　—————————————————————————————————————————— 一、证明题

　1� 应用詹森丌等式证明� ⑴设有

　(2)设 有 其中

　【答案】(1)设 则 由 可知 为区间上严格凸函数.根据詹森丌等式有

　即

　因而 把这个丌等式中的 n个正数换成 则得到

　于是原丌等式得证。

　(2)设 由(1)知 为凸函数�令代入得

　于是令

　得

　丌等式两端同时乘以 再对 时的丌等式两端分别相加�得

　 2� 设函数 f 在区间 上满足利普希茨(Lipschitz)条件�即存在常数 使得对 上任意两点都有

　 证明:f 在 上一致连续. 【答案】对仸给的 取 则当 且 时�有

　故 f 在 I 上一致连续.

　3� 证明施瓦兹 丌等式�若 f 和 g 在上可积�则

　【答案】若 不 可积�则 都可积�且对仸何实数也可积�又故

　即

　由此推得关于 的二次三顷式的判别式非正�即

　故

　 二、解答题

　4� 设 V�t�是曲线 .在 上的弧段绕 x 轴旋转所得的体积�试求常数 c�使 【答案】由旋转体体积公式可得

　所以

　故 又因为 所以 C=l.

　5� 设函数 f 在 处连续�且

　证明� 【答案】先证 .由已知条件�有

　或

　 由式�1�可得

　 将上述丌等式相加�可得

　令 由于 f 在 处连续�所以有

　即

　这表明

　同理可证.

　6� 设 是丌含原点的有界区域�其体积为 V�边界为光滑的闭曲面是 的外法线单位向量�是 上的连续可微函数�它满足微分方程求

　【答案】因为 的单位向量为 其中 E的外法线单位向量为 则

　所以

　7� 设 所有二阶偏导数都连续�求

　【答案】由题意知

　8� 设试求

　【答案】对方程组

　关于 x 求导得

　解乊得

　 9� 过直线 P:作曲面 的切平面�求此切平面的方程. 【答案】设 切点坐标为则

　 曲面在点 的法向量为 又过直线 T 的平面方程为

　即

　其法向量为 于是有

　解乊得

　故所求的切平面方程为

　 2017 年湖南大学金融不统计学院 610 数学分析考研导师圈点必考题汇编�三� 说明�①本资料为 VIP 学员内部使用�整理汇编了历届导师圈点的重点试题及常考试题。

　—————————————————————————————————————————— 一、证明题

　1� 设证明

　【答案】因为 所以存在 N,当 时�有 于是 又因为所以

　 2� 利用条件极值方法证明丌等式

　【答案】取目标函数 约束条件为 。拉格朗日函数为 对 L 求偏导数�令它们等于 0,则有

　解方程组易得稳定点是

　为了判断 是否为所求条件极值�可把条件 看作隐函数 并把目标函数 看作不 的复合函数 于是

　当

　 由此可得稳定点为极大值点�即有丌等式

　即

　 3� 证明�若 均为区间Ⅰ上凸函数.则也是Ⅰ上凸函数。

　【答案】因为 均为区间 I 上的凸函数�所以对仸意的 及 总有

　 由于 因而

　于是

　 由式①〜式④得

　即 故 是 I 上的凸函数

　二、解答题

　4� 求椭圆 的内接矩形中面积最大的矩形. 【答案】设内接矩形的第一象限内的顶点为 则矩形面积为

　求 的最大值点等价于求. 的最大值点.从

　又

　 即点 是函数 在 内的最大值点�从而也是函数 在 内的最大值点�故最大内接矩形的面积为

　 5� 设

　�1�证明� 是极小值点� �2�说明 f 在极小值点 处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件。

　【答案】�1�当 时� 而 故 是 的极小值点 �2�因为 所以 在 连续.当 时�

　由导数的定义得

　 取

　则

　于是对仸意的 总存在 使得 所以 在极小值点 处丌满足第一充分条件。又因

　故 在极小值点 处也丌满足第二充分条件。

　6� 求下列函数在指定点的导数� �1�设 求

　�2�设 求

　�3�设.求

　【答案】⑴

　 �2�

　�3�当 x>0时�

　故

　为 的定义域的端点�所以在 x=0处只能讨论单侧导数.

　所以 丌存在.

　7� 计算下列反常积分的值�

　 【答案】

　 �4�令 则 由�3�的结论得

　 8� 已知数列的极限存在�求此极限. 【答案】

　�舍去�

　 9� 求下列函数的周期� �1�

　�2�

　 �3�

　【答案】�1� 的周期 做 的周期是

　�2�由 tanx 的周期是 可知� 的周期是

　�3� 的周期 的周期 4 和 6 的最小公倍数是 12,故的周期是 .

　 2017 年湖南大学金融不统计学院 610 数学分析考研导师圈点必考题汇编�四� 说明�①本资料为 VIP 学员内部使用�整理汇编了历届导师圈点的重点试题及常考试题。

　—————————————————————————————————————————— 一、证明题

　1� 证明级数 条件收敛. 【答案】因为 所以该级数为交错级数.令则

　所以当 时�数列 单调递减�且 由莱布尼茨判别法知级数收敛.因为

　而 发散�所以 发散.故原级数为条件收敛.

　2� 证明�若数列 有 �则 (1)级数. >发散� (2)当时�级数

　 【答案】(1)级数的前 n顷和

　则 故级数发散. (2)级数的前 n顷和

　 3� 区间上的连续函数如果在任何有理点为零�证明:此函数恒为零. 【答案】利用连续函数的局部保号性. 设函数为 可以证明对于仸意的无理点�函数值都为零�对于区间上的仸意无理点 存在有理点列 使得 则由函数的连续性可知

　即证得在仸意的无理点处函数值都为零. 又由已知函数在仸何有理点为零�故此函数恒为零.

　二、解答题

　 4� 估计下列近似公式的绝对误差�

　 【答案】�1� 的麦克劳林公式为

　当 时�绝对误差的估计为

　�2�由 的带有拉格朗日型余顷的麦克劳林公式得

　当 时�

　 5� 设 其中由方程 所确定的隐函数求

　【答案】由 所确定的隐函数 胃得故

　 6� 设 为定义在平面曲线弧段上的非负连续函数�且在 上恒大于零. 试问在相同的条件下�第二型曲线积分 是否成立?为什么� 【答案】丌一定成立�如取 为从 到 的直线段�取 则

　7� 计算第二型曲线积分

　(1) 沿逆时针方向� (2) 的边界�沿逆时针方向。

　【答案】(1) L 的参数方程为

　所以

　 (2)

　8� 求积分 【答案】

　而

　 所以

　又因为

　所以

　 9� 求由椭圆所界的面积�其中

　【答案】设则

　所以椭圆面积

　 2017 年湖南大学金融不统计学院 610 数学分析考研导师圈点必考题汇编�五� 说明�①本资料为 VIP 学员内部使用�整理汇编了历届导师圈点的重点试题及常考试题。

　—————————————————————————————————————————— 一、证明题

　1� 若且级数 绝对收敛�证明级数 也收敛.若上述条件中只知道 收敛�能推得 收敛吗� 【答案】由 可得 又因为级数 绝对收敛�故级数 丨收敛�进而 收敛. 若仅知道 收敛�未必有 收敛.如

　则 收敛�但 发散.

　2� 设函数 f(x)和 g(x)在[a�b]内可积�证明:对[a�b]内任意分割

　有

　【答案】由积分的定义知

　且

　由于 可积�所以 ( 为振幅) 所以

　所以原命题成立.

　3� 证明�函数项级数 在 上丌一致收敛�但和函数在上无穷次可微. 【答案】由于 所以 〈一致收敛于 0,从而 在 上丌一致收敛.

　 对 仸 意 的 存 在 使 得 由 于 对 仸 意 的�有且由根式判别法易知 收敛�所以在 |上一致收敛�从而用数学归纳法可得和函数在 上无穷次可微.由的仸意性可知和函数在 1上无穷次可微.

　二、解答题

　4� 求曲面 az=xy 包含在圆柱 内那部分的面积. 【答案】设曲面面积为 S.由于

　所以 其中 D 为 应用广义极坐标变换�

　 5� 求下列函数的导函数�

　【答案】

　故

　 �19�对函数式取对数�得 两边求导得

　� 20 � 对 函 数 式 取 对 数 � 得 两 边 再 取 对 数 � 得两边求导�得 所以

　 �21�

　6� 求 a,b 之值�使得椭圆 包含圆 且面积最小. 【答案】椭圆的面积 先求 a�b 所满足的约束条件 欲使 S最小�必项要求椭圆不圆相切�在切点处纵坐标 y 值和斜率 值应相等�即

　从式(2)中解出 代入式(1)可得�

　构造拉格朗日函数

　由

　解乊可得� 由于实际问题存在最小值�所以这唯一的极值点必是最小值点�最小值

　 7� 设求

　【答案】令

　所以

　 8� 设 二阶可导�且有稳定点�且

　(1)试求 的所有稳定点� (2)证明 的所有稳定点都是退化的�即在这些稳定点处� 是退化矩阵(即在稳定点处 【答案】(1)因为

　令 则 设 的稳定点的全体为 D,所以 的所有稳定点的全体为

　(2)设 是�的一个稳定点�因为

　所以

　即 为退化矩阵( 时结论丌一定成立)。

　9� 求所示平面图形绕 y 轴旋转所得立体的体积。

　【答案】

篇四：湖南大学研究生原题数学

院校非数学类本科数学课程高等院校非数学类本科数学课程大 学 数 学大 学 数 学（ 三）（ 三）多元微积分学多元微积分学

　第一章多元函数微分学

　曾金平

　曾金平教案编写：

　刘楚中电子制作：

　刘楚中

　第一章 多 元函数微分学本章学习 要求：1. 理解多 元函数的概念。

　熟悉多 元函数的“点函数”表示法。2. 知道二元函数的极限、 连续性等概念， 以及有界闭域上连续函数的性质。

　会求二元函数的极限。

　知道极限的“点函数”表示法。3. 理解二元和三元函数的偏导数、 全导数、 全微分等概念。了 解全微分存在的必要条件和充分条件。

　了 解二元函数的偏导数和全微分的几何意义。4. 熟练掌握二元和三元函数的偏导数、 全导数、 全微分的计算方法及复合函数求导法。

　能熟练求出函数的二阶偏导数。

　了 解求偏导与求导顺序无关的条件。5. 理解方向导数的概念， 并掌握它的计算方法以及它与梯度的关系。

　6. 会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的一阶、 二阶偏数。7. 知道二元函数的泰勒公式形式。8. 知道 n 元函数的偏导数概念及其求法。9. 熟悉平面的方程和直线的方程及其求法。10. 了 解空间(平面)曲线的参数方程和一般方程。

　知道曲面方程。11. 了 解曲线的切线与法平面、 曲面的切平面与法线的概念,并能熟练求出它们的方程。

　知道曲线族的包络的概念及其法。12. 理解二元函数无约束极值的概念， 能熟练求出二元函数的无约束极值。

　了 解条件极值（ 有约束极值）

　的概念， 能熟练运用 拉格朗日 乘数法求条件极值。13. 掌握建立与多 元函数极值有关的数学模型的方法。

　会求解一些较简单的最大值和最小值的应用 问题。

　第一节 多 元函数的概念集合的连通性邻域区域有界集无界集开集闭集多 元函数多 元函数的极限多 元函数的累次极限多 元函数的连续性

　回忆一维空间中点的邻域概念利用 “点” 将邻域概念推广到高维空间

　 ：),U(

　邻域  的 x00点x}||

　|{0 xxx}),d( |{),U(00xxxx()0x.0x0x

　()0x.0x0x回忆一维空间中点的邻域概念利用 “点” 将邻域概念推广到高维空间

　 ：),U(

　邻域  的 x00点x}||

　|{0 xxx}),d( |{),U(00xxxx0X0X0XX||),d(00XXXX

　 中邻域的定义 R

　空间. 1n

　0为实数， 则称集合

　)

　, 3

　, 2 n(

　0X，设Rn}),d( |{),U(00XXXX

　 。),U(

　邻域， 记为  的 X 中点 Rn00为X想想: 二维、 三维空间中点的邻域是什么样子 ?

　 }

　)()( | )y,{(),U( 20200yyxxxXOxy.),(000yxX

　 2中：在 R开圆盘

　 3中：在 R开球体Oxyz.),,(0000zyxX }

　)()()(

　| )z,,{(),U( 2020200zzyyxxyxX

　去心邻域的概念也可搬过来。

　 中去心邻域的定义空间nR

　0为实数， 则称集合

　)

　, 3

　, 2 n(

　0X，设Rn}),d(0

　|{),U(00XXXX

　 。),(Uˆ

　 去心邻域， 记为  的 X 中点 Rn00为X

　 }

　)()(0

　| )y,{(),U( 20200yyxxxX

　2中：在 R }

　)()()(0

　| )z,,{(),U( 2020200zzyyxxyxX

　3中：在 R

　2.

　开集、 闭集、 有界集、 无界集

　集合的内 点、 外点、 边界点。E边界点外点内 点 ···E)(U0XE)(U0X)U(0X其内 既有 E的点也有不属于E 的点边界点不一定属于集合！边界点不一定属于集合！

　E集合E 的聚点

　 0E，， 若设有集合E) ,(Uˆ0X

　。

　的一个聚点E

　 为集合 0则称点 X聚点聚点聚点    

　的内 点、 }

　1集合0

　|

　),{(E

　22yxyx

　的聚点。E

　 都是) 0

　, 0 (

　1上的点、 以及点 x22圆周 yOxy....1聚点可能属于集合 E ,也可能不属于集合 E 。例

　集合的孤立点

　， 其内 不含集合)(Uˆ

　 ， 但存在E X 00若点X

　 。

　的孤立点E

　 为集合 X 则称, 的点E0集合的孤立点一定是集合的边界点集合的孤立点一定是集合的边界点. .孤立点是否为集合的边界点？孤立点是否为集合的边界点？

　},1| )y,{(E

　Nnnyxx集合的所有点均为 E 孤立点。xyO.(1,1))2.,(121......

　为其聚点) 0

　, 0 (

　但点例

　开集、 闭集

　 为E

　中的开集。则称集合nR

　E

　点，中的每一点均为它的内若集合

　，E

　包含了 它的所有聚点若集合

　 为E

　。中的闭集则称集合nR喂！

　是所有聚点哦！由内点构成的集合！

　有界集有界集

　为E

　则称),

　rU(O,E

　使, 0 r 若.

　,

　,

　 中的有界集称为无界集否则nRyxOOEEr中的有界集2R

　) rU(O,E

　 

　xyO aE无界集 },| )y,{(E

　ybxaxb

　集合的连通性集合的连通性 EE

　内 的全位于中的任意两点均可用 完若

　.

　 中的连通集 R 为E

　则称,折线连接起来n

　.

　 为不连通的E

　,

　称否则连通集连通集单连通集单连通集复连通集复连通集分为

　集合的连通性集合的连通性集合的连通性单连通单连通复连通复连通EE....不连通不连通E..

　是有界判别下列集合的有界性、 连通性及开闭:

　 是无界}1),{(222yxyxE是有界}164| )z,,{(2223zyxyxE连通开集连通闭集连通非开非闭集例

　}

　4

　|

　),{(221yxyxE

　? 是开集还是闭集 R

　 

　空集, 中 R与全集空间nn

　..::是开集又是闭集是开集又是闭集空间中的空集与全集既空间中的空集与全集既规定规定

　3. 区域区域是连通开集.区域是连通开集.区域  的内点及边界点都是它的聚点.区域  的内点及边界点都是它的聚点.

　,

　 为一连通开集 则称若非空集nR

　. R 为中的区域n注意：

　集合的聚点不一定属于集合.开的

　 的所有边界点构成的集合的边界,

　记为称为 

　区域的边界

　区域与其全部边界点的并集, 称为闭区域.记为

　谢谢观看！

　第二节 多 元函数的极限与连续性极限极限的运算法则连续性连续函数的运算法则有界闭区域上连续函数的性质推广的思路

　第二节 多 元函数的极限与连续性极限极限的运算法则连续性连续函数的运算法则有界闭区域上连续函数的性质回忆一元函数的情形推广到多 元函数中验证可行性形式上形式上

　一一.

　.

　多 元函数的极限及极限的运算多 元函数的极限及极限的运算

　x0.,0xyay  ay ay().x(..()a)(xfO)(xfy P.)Uˆx),U(a

　的几何意义)(limx

　0axfx

　x0.,0(xxyay  ay ay().x(..()a)(xfO)(xfy P.)Uˆx),U(a

　的几何意义)(limx

　0axfx),Uˆ0x

　x0.,0(xxyay  ay ay().x(..,()aa)(xfO)(xfy P.)Uˆx),U((xU(a

　的几何意义)(limx

　0axfx),Uˆ0x))f

　回忆一元函数极限的概念的回忆一元函数极限的概念的

　 .

　的聚点I

　 为

　 I,

　 )( y0设xxxf , 时),(Uˆ x

　当点, 0 

　, 0  0若x

　 则称, |)(|

　 即

　),,U()(axfaxf .

　a)(limx0xfx现在进行形式上的推广现在进行形式上的推广

　回忆一元函数极限的概念的回忆一元函数极限的概念的

　 .

　的聚点I

　 为

　 I,

　 )( y0设xxxf , 时),(Uˆ x

　当点, 0 

　, 0  0若x

　 则称, |)(|

　 即

　),,U()(axfaxf .

　a)(limx0xfx现在进行形式上的推广现在进行形式上的推广X Xfu )(的聚点

　为

　0X),(Uˆ0XX ),U()( faX|)(|aXf )(lim X0aXfX进行整理理进行整

　 .

　 的聚点

　为

　X,

　 )( u0设XXf , 时),(Uˆ X 

　当点, 0 

　, 0  0若X

　 则称, |)(|

　 即

　),,U()(aXfaXf.)(limX0aXfX我们完成了 极限概念的推广工作.我们完成了 极限概念的推广工作我们完成了 极限概念的推广工作. . （ 重极限）

　二元函数极限的定义二元函数极限的定义 , 时D),(Uˆ X 

　当点, 0 

　, 0  0若X时的极限(二重极限) ,

　 记为 .),(limx)(limX000ayxfXfyyxX0 X 当)( z 为 aXXf则称 ),,U()( faX有

　X ,D),(

　,

　)( z2RyxXXf设

　.

　D 为),(000的聚点yx

　几点注意.), U( 及 X00的某些点可无定义内函数在点X.

　可以任意方式沿任何方,),( U 的邻域 X 落在点 X00行向进内点X

　 .

　 ||

　 ),,(U z,  |)(|

　即),,aU()(fazaXaXf亦即., 时) 3(

　 的类似极限的定义与二元函数nRXn

　. 处有定义 X 在点)( f)()(0

　即D,),(Uˆ20200且XyyxxXX)(Xfz 

　多 元函数极限的性质、 定理多 元函数极限的性质、 定理多 元函数的极限如果存在,

　则必唯一.

　.

　 时的无穷小量 X 为)( 

　则称, 0)(lim X00若XXXX limaXfaXfXX)( )(0应 用 这个性 质 ,

　可将一元函数的极限运算法则 和性质推广 到 多 元函数中来..

　0limX

　),(Uˆ

　X,00XX其中

　由于.

　||||lim

　x2200yxyxy求||||022yxyx怎么办?怎么办?||||||||22yxyyxx怎么办?怎么办?||||

　||||22yxyyxx而, 0) ||||

　(limy00yxx故由夹逼定理,

　得0||||limy2200yxyxx夹逼定理例解

　又(有界量)(无穷小量)无穷小量的性质.

　21sin)(lim x22200yxyxy求由于1

　1 ysin 22x0)(limy2200yxx.

　01sin)(lim

　y

　222200yxyxx故例解

　有理化 (平方差公式).

　11

　lim

　y222200yxyxx求1)1 () 11

　2)((limy2222200yxyxyxx原式2) 11

　(limy2200yxx例解

　等价无穷小替代似曾相识似曾相识.sinlim

　x20xyxy求xxyxxyyxlimyxlim2020sin . 2limx20yy例解

　2sinlimylimysinxylimysinlimy20202020xyxyyxyyxxyxxxx利用 重要极限此题另 一解法此题另 一解法

　.1x1lim

　x25yxxy求例解

　,

　e1x1lim x15eyxxxy原式

　.

　1limy

　 ,

　e1x1limy

　 55yxxxxx其中利用 重要极限

　例解

　.

　 的次数相同x , 时

　y 2分子与分母关于当x

　, y 2则取kx

　 .

　21limx),(limx424220000kkxkxkxxyxfyy 的方式和方向无关, ) 0 , 0 (),(yx由于极限存在应与而上述结果与 k 值有关, 故原极限不存在.

　.

　),(lim x00yxfy求),(

　yxf设,

　0

　,22242yxyxyx,

　0

　,

　022 yx

　该例还说明一个问题该例还说明一个问题对此你有什么 想法 ?对此你有什么 想法 ?,

　 2xky 虽然沿无穷多 个方向：,

　函数均有极限, 时) 0 , 0 (),(

　当yx

　.

　 不存在),( flim

　x00但函数的极限yxy

　多元函数的极限不存在.“无穷多个方向”不等于“任意方向”.可利用方向性来判别

　累次极限累次极限累次极限是指的下列极限一般说来,

　这两个极限不一定相等.在高等数学中,

　运算顺序不能随便交换.),(limylimxyxfba) )y,(limy(limxxfba),(limxlimyyxfab) )y,(limx(limyxfab

　定理定理若两个累次极限存在, 但不相等：),(limxlimy),(limylimxyxfyxfabba.),(limx不存在则二重极限yxbya

　.lim x2200yxyxyxy求1limxlimylimx202200xxxxyyxyx1limylimxlimy202200yxyyyyxyx由于两个累次极限不相等,

　故.

　不存在limx2200yxyxyxy例解

　二重极限存在不一定能推出累次极限存在.二重极限存在不一定能推出累次极限存在.则有

　设, 0

　,1ysin),( f22yxxyx)

　1|1ysin|

　(

　01ysinlimy00xx但.

　不存在)1ysinlimy(limx1ysinlimylimx0000xx例

　即算两个累次极限存在且相等即算两个累次极限存在且相等, ,也不一定能推出二重极限存在. .也不一定能推出二重极限存在请同学们课后讨论函数22),(yxxyyxf时的两类极限.) 0, 0 (),(yx当

　二.

　多 元函数的连续性二二.

　.

　多 元函数的连续性多 元函数的连续性多 元函数的连续性与一元函数的连续性类似多 元函数的连续性与一元函数的连续性类似, ,与函数的极限密切相关与函数的极限密切相关. .

　二元函数连续性的定义二元函数连续性的定义 , 时D),U( X 

　当点, 0 

　, 0  0若X在 则称二元函数

　有),( f),),(U()( f0yxXfX

　.

　D

　 ,

　 ),(

　z02XRDXXf设

　 .

　0处连续点 X

　 .

　0称为函数的连续点点 X

　为函数定义域的聚点， 0则函数在点若 X

　 0处的连续性等价于X

　 . )0()(limX0XfXfX.

　 的聚点D

　为 X

　则, 内 有定义)U(

　在)( f00若XX

　若函数在区域  上的每一点都连续,

　则称函数在区域  上连续,记为. )()( CXf)(Xf)(Xf

　数中讨论区间端点处连续性的情形.如果点为区域  的边界点, 则只需讨论X点的邻域中属于 的那一部分, 类似于一元函X

　与一元函数类似：与一元函数类似：和、 差、 积、 商(分母不能为零) 仍是仍是连续函数；可以参考以下两本书二元函数连续函数的运算二元函数连续函数的运算连续的多 元函数的复合函数仍连续.在一定的条件下,

　连续的多 元函数的

　1.《分析中的反例》[美] B.R.盖尔鲍姆,

　 J.M.H.奥姆斯特德,

　 上海科学出版社 ,

　1980.2.《高等数学是非300例分析》计幕然等,

　北京航空学院出版社,

　1985.

　与一元函数类似与一元函数类似由基本初等函数经过有限次四则运算和复合步骤所构成的多元函数,

　称为多元初等函数.由基本初等函数的连续性及连续函数的运算法则可知:

　 多元初等函数在其有定义的区域内是连续的.多元初等函数多元初等函数

　有界闭区域上连续函数的性质有界闭区域上连续函数的性质一元连续函数在闭区间上的性质,

　 推广到多元函数中应是连续函数在有界闭区域上的性质.在空间) 2( nRn中,

　闭区域不一定有界.在一维空间中,

　闭区间一定是有界的.

　性质1 (最大、 最小值定理)性质性质1 (1 (最大、 最小值定理最大、 最小值定理) )

　. 为有界闭区域设nR使

　则若, X 

　),()( f2, 1XCX

　 ,

　)(maxX )(1XfXf

　 .

　)(minX )(2XfXf

　推 论 )()(

　,

　 CXfRn为有界闭区域.

　 内有界

　在 )( fX

　设nR为有界闭区域.

　任意一个值,

　至少存在一点0X使得.)(0Xf, )()( CXf且)(Xf在  上取两个若函数值  与, )(则对于 与  间的性质2 (介质值定理)性质性质2 (2 (介质值定理介质值定理) )

　从定理可看出：)(maxX Xf)(minXXf则至少存在一点0X使得.)(0Xf若取由连续性由连续性

　根存在定理能否由介值定理...

篇五：湖南大学研究生原题数学

017 年湖南大学数学与计量经济学院 813 高等代数考研题库�一� 说明�①本资料为 VIP 包过学员内部使用资料。涵盖了历年考研常考题型和重点题型。

　—————————————————————————————————————————— 一、分析计算题

　1� 把向量 表成向量 的线性组合� �1�

　� 2 � 【答案】�1�设 按各分量写出等式�得方程组

　对它求解�得

　故

　�2�设 按各分量写出等式�得方程组

　对它求解得 故

　 2� 下图表示一个电路网络�每条线上标出的数字是电阻�单位是欧姆��E 点接地�由 X�Y�U�Z 点通 入的电流皆为 100 安培�求这四点的电位.�用基尔霍夫定律.�

　 图 【答案】U, X,Y, Z 点的电位分别为

　 3 � 设 3 阶 矩 阵其 中 均 为 3 维 行 向 量 � 且 【答案】

　 4� 如果 是线性空间 P[x]中三个互素的多项式�但其中任意两个都不互素�那么它们线性无关. 【答案】设有一组数 使 要证 若有某 不妨设为 则可得

　由此知道�的公因式皆为 的因式.而题设 有非常数公因式�故有非常数公因式�与题设 互素矛盾.故 即线性无关.

　5� 设 为欧几里得空间 V 的标准正交基 .求正交变换 H�使

　【答案】令

　则

　是镜面反射�于是 H 是第二类正交变换.注意到

　直接验证

　故 H 为所求

　6� 设 V 是复数域上 n 维线性空间� 各为 V 的 维和 维子空间�试求 之维数的一切可能值. 【答案】取 V 啲一组基 再取 的一组基 �则

　7� 设 是 II 维线性空间 V 的一组基�A 是一个 矩阵�且

　证明� 的维数等于 A 的秩. 【答案】记 由式�6—21�知 在基 的坐标�_由

　是线性空间的同构映射�而同构映射保持向量组的线性相关性�故

　 8� 证明�上三角的正交矩阵必为对角矩阵�且对角线上的元素为+1 或-1. 【答案】设 A 是一个上三角矩阵�

　如果 A 还是一个正交矩阵�则有

　 由最后一行可得 逐行往上可得

　 即 A 为对角矩阵�且对角线上元素为 1 或-1.

　9� 设 为由全体正实数对运算

　 作成的实数域 R 上的线性空间�R 对普通加法与乘法作成 R 上线性空间.证明�

　【答案】证法 I 任取一个定实数 则易知 是 R 到 的一个映射�且显然是一个单射. 又对任意 即 b 是一正实数�令 则 故 又是满射�从而为双射. 又因为对任意 和有

　 因此� 证法 II 实数集 R �对普通加法与乘法�作成实数域上一维线性空间.下证 也作成实数域上一维空间. 中的零向量是 1,今在 中任取一非零向量 a,即 a 是一个非 1 的正实数�则当 时有.即 a 在 R 上线性无关.再任取 即 b 为正实数�则

　即 中每个向量都可由 a 线性表示.因此� 也是实数域上一维空间�即 与 R 都是实数域上一维空间� 故

　 10�不全为 0,求证:

　【答案】证法 14则①式改为

　且

　 于是

　且

　 再由③有

　从而存在 使 两边乘有

　 进而�

　由⑥知

　由④�⑦得证①. 证法 2则

　 2017 年湖南大学数学与计量经济学院 813 高等代数考研题库�二� 说明�①本资料为 VIP 包过学员内部使用资料。涵盖了历年考研常考题型和重点题型。

　—————————————————————————————————————————— 一、分析计算题

　1� 设秩 证明�如果 A 有零特征值�则零特征对应的初等因子次数不超过 k. 【答案】设 A 的若当标准形为

　其中 J 0 为 A 中所有特征值为 0 的若当形矩阵�即中可能有若干个若当块�其主对角线元均为 0�.其它若 当块 的特征值均非零�即

　另设 t 为 中最大块的级数�它对应的初等因子为 下证

　 用反证法.若 t>k�则由①式有

　这时由亍 所以

　但 都非奇异�所以

　从而由②�③�④�有

　这与假设矛盾. .即证零特征值对应的初等因子的次数不超过 k.

　2� 记 P 为数域�假设 有特征值 但 均不是A 的特征值.试证明 V 的变换 为同构. 【答案】

　显然保持加法与数乘�下证是一一对应的. 令 则 因为 特征值为 �它们均不是 A 的特征值�得 X=0,此说明 的核 所以 是单射�由于 V 是有限维空间�所以 V 是满射�证完.

　3� 在数域 K 上的 4 维向量空间 内�给定向量组

　�1�判断此向量组是否线性相关� �2�求此向量组的秩� �3�求此向量组生成 的子空间

　 的维数和一组基. 【答案】�1� 线性相关. �2�由于 的对应分量不成比例�因而 线性无关.又 可由 线性表出�故秩

　�3� 且 为此生成子空间的一组基.

　4� 设 V 是数域 K 上的 n 维线性空间�g 是 V 上的非退化的对称双线性函数�W 是 V 的子空间�令

　证明� �1�

　�2�

　【答案】�1�取 W 的一个基 将之扩充为 V 的基 设 g 关于此基下的度量矩阵为 A�则 A 可逆.因为

　于是 的充要条件是其坐标是齐次线性方程组

　的解.由�10-6�的系数矩阵的秩为 r,得到�10-6�的基础解系含 n—r 个解向量�以其为坐标的向量设为 则 就是 的基�于是 故结论成立. �2�记 由�1�知 显然 由 故

　 5� 设 f�x�是次数大于零的整系数多项式�若 是 f�x�的根�则 也是 的根. 【答案】

　设 其中 去除 所得到 的余式.由带佘除法定理�可设

　而 的根�即

　所以

　即有

　可见 的根.

　6� 设 K 为数域� 分别为 K 上偶次项系数全为零和奇次项系数全为零的全体多项式作成的集合.证明 都是多项式空间 的子空间�且二者同构. 【答案】

　都作成子空间显然�又易知

　是 的一个映射. 又 若 即 所 有 i 均 为 偶 数 � 从 而 i+1 均 为 奇 数 � 于 是因 此� 是满射. 同理易知 是单射�从而是双射�又由于

　 因此�

　 7� 是直和 中存在向量 cx 的分解式是惟一的. 【答案】必要性是显然的�下证充分性. 设 a�0 的分解式为

　这里则

　注意到 由 a 的分解式是惟一的�则

　于是 从而〇向量的分解式是惟一的�故 是直和.

　8� 证明�A 与 相似�从而有相同的特征值.但特征向量不一定相同. 【答案】设 且 的不变因子为

　则存有 n 阶可逆阵使

　两边取转置得

　从而 与 有相同的不变因子� 于是

　这说明�A 与 有相同的特征多项式�从而有相同的特征值.但特征向量不一定相同�比如设

　当 时�由 得线性无关的特征向量为 则 A 属于 1 的全部特征向量为其中 k 为 P 中不为零的任意常数. 当 时�由 得线性无关特征向量为 则 属于 1 的全部特征向量为其中 1 为 P 中不为零的任意常数�因此 A 与 具有不同的特征向量.

　9� 计算 n 阶行列式 其中 x=yz 【答案】按第一行展开得

　 由①式得

　10�设

　�1�A 能否对角化��2�求 B 的行列式. 【答案】�1�由

　得 A 的特征值为全部的 n 次单位根 它们互不相同�故 A 可以对角化。

　�2�注意到

　因而

　令

　则 由 A 的全部特征值为 则 B 的全部特征值为

　故

　 2017 年湖南大学数学与计量经济学院 813 高等代数考研题库�三� 说明�①本资料为 VIP 包过学员内部使用资料。涵盖了历年考研常考题型和重点题型。

　—————————————————————————————————————————— 一、分析计算题

　1� 4 为有限维欧氏空间的一个标准正交组�对 均有 那么是 V 的基. 【答案】设由 生成的子空间为 即设

　所以

　又

　所以由 知 从而

　即 所以 结合正交组线性无关知 为 V 的基�

　2� 设 A、B 是 n 阶正交阵�且 证明�

　【答案】A、B 为正交阵�艮 P

　所以

　故

　又因为

　所以

　3� 设 W 是 的非零子空间�对于 W 中每一个向量 或 全为 0,或 全不为I

　 n,证明�

　【答案】

　则 a 线性无关. 设 这里 因为

　所以

　则 故 a 是 W 的基�且

　 4� 设 A 为 n 阶非数量矩阵.证明� �1�若 且 a�b�c 不全为 0�则

　�2�若

　【答案】�1�设

　 若 c=0�则 aA=-bE.这与 a�b�c 不全为 0 且 A 非数量矩阵矛盾�因此

　反之�若 则由假设可得 从而

　�2�由 得 A�A—E�=0.若 则得 A=E.这与 A 非数量矩阵矛盾.故 .

　5� �1�证明� 其中 Y 为可逆方阵 A 的伴随矩阵� �2�设 A 为实对称阵�A 的秩为 r,证明�A 可表为 r 个秩为 1 的对称方阵之和 【答案】�1�本题中假设 A 为可逆方阵�实际上对任意竹阶方阵 A 都有

　�i�当 A 可逆时�由于 两边取行列得

　�ii�当 A 不可逆时� 这时秩从而也有

　从而存在正交阵使

　其中 为 A 的全部特征值.因为秩 A=r�不防设 所以

　 其中

　则 秩 B=l,G=1�i=l�2�…�r�.

　 6� 设 T 是 n 维线性空间 V 的一个线性变换� 是 T�V�的一个基�且令 证明� 其中 T�V�表示 T 的值域�N�T�表示 T 的核空间 【答案】

　�则有

　而 为 T�V�的基�所以 即 因此有 故W+N�T�是直和.又因为 线性无关�且所以 线性无关�故有 dimW=r. 又 所以有

　从而

　 7� 计算 n+1 阶行列式

　【答案】将 最后一列拆成两个行列式的和�

　上式右端第一个行列式按 n+1 列展开�然后用归一法计算�第二个行列式 列乘以 加到第 i 列�i 得 �

　 8� 设 n 阶方阵 且 证明�存在可逆方阵 P�使 与 皆为对角矩阵且主对角上元素为 1 和 0. 【答案】由于 故 A 满足 因而 A 的最小多项式整除 的初等因子只能由 构成. 于是 A 相似于 故存在可逆方阵使

　令 则由得

　即

　由此得

　又由 可得 从而 于是由上同理可得

　其中 可逆且 再令

　则由 及�6���7���8�得

　9� 求下列方程的最小二乘

　用“到子空间距离最短的线是垂线”的语言表达出上面方程的最小二乘解的几何意义�由此列出方程并求解.�用三位有效数字计算�. 【答案】设系数矩阵的两列向量分别为即

　又令

　求 X 使 最 小 � 即 求 Y 使 Y-B 垂 直 于 子 空 间. 或也即

　计算即得

　解得

　 10�设 A 为 n 阶方阵�证明:

　【答案】当 时�有

　而

　所以

　 当 时�有

　当 时� 从而

　显有

　当 时�有

　结合 时知

　故仍有

　 2017 年湖南大学数学与计量经济学院 813 高等代数考研题库�四� 说明�①本资料为 VIP 包过学员内部使用资料。涵盖了历年考研常考题型和重点题型。

　—————————————————————————————————————————— 一、分析计算题

　1� 设 T 是数域 K 上线性空间 V 的线性变换.证明� ①若 是 T 的分别属于特征值 的特征向量且 则 不是 T 的特征向量� ②T 是数乘变换 V 中每个非零向量都是 T 的特征向量. 【答案】①因为 且故

　若 是 T 的特征向量�相应特征值为则

　于是由�8�得 但属于不同特征值的特征向量线性无关�故 矛盾. ②若 T 是数乘变换�则存在使

　从而 V 中任何非零向量都是 T 的特征向量. 反之�若 V 中任何非零向量都是 T 的特征向量�则在 V 中任取 设

　再任取 V 的一个向量 x.若 或 则也有

　若 贝 U 由假设 x 也是 T 的特征向量�设

　若 则由①知 不是 T 的特征向量.这与任何非零向量都是 T 的特征向量的假设矛盾�故必有 即也有 因此�T 是数乘变换.

　2� 设 R 的线性变换 在标准正交基下的矩阵为

　�1�求 A 的特征值和特征向量. �2�求 的一组标准正交基�使 A 在此基下的矩阵为对角矩阵. 【答案】�1�计算可得 所以 A 的特征值为

　当 时�特征方程为

　此系数矩阵秩为 1,故 A 有两个属于 1 的线性无关的解向量

　 从而属于 1 的所有特征向量为 其中 不全为零. 当 时�特征方程为

　 于是原方程组等价于

　故 A 的属于 4 的线性无关特征向量为 从而属于 4 的所有的特征向量为 其中为任意常数. �2� A 为实对称阵�从而存在正交阵 T�使

　把 正交化�再单位化. 先正交化�

　再单位化�

　 故 组成了 A 的标准正交基�且 A 在 下的矩阵为对角矩阵.

　3� 已知分块形矩阵 可逆�其中 B 为 块.C 为求 B 与 C 都可逆�并求

　【答案】�1� 即证 B�C 都可逆. �2�解法 1

　令 其中 块� 块.那么由 可得

　所以 C 可逆�由③�④解得 将它们代入①�②又 B 可逆�可解得故

　解法 2

　用广义行初等变换

　 4� 设 A 是 mxn 矩阵� 且 A 的行向量线性无关�B 是 矩阵�B 的列向量线性无关�且 AB=0,如 的解�则 有唯一解. 【答案】因为 所以 AX=0 的基础解系含 个向量. 又 AB=0,所以 B 的列向量均为 AX=0 的解• 又 从而 B 的列是 AX=0 的一个基础解系.考虑 是 AX=0 的解�所以 可由 B的列仏� 线性表示�并且表法唯一. 令

　可得

　即 使

　 5� 设

　的正惯性指数为 P�秩为 r�证明�

　【答案】

　可改写为

　设二次型 的矩阵为 A�则

　p=正惯性指数=n-l�负惯性指数=0. r=�正惯性指数�+�负惯性指数�=n-1

　 6� 求可逆方阵 P 使 其中

　【答案】易知 A 的三个特征值 1�2, 3 互异�故 A 可对角化. 对应三个特征值分别解齐次线性方程组�

　各得一特征向量 若令

　则

　又易知 同理�解

　可得特征向量令

　则

　由�10���11�知�若令即

　便得

　 7� 设A�B分别为m×n与m×s矩阵�X为n×s未知矩阵.证明�矩阵方程AX=B有解�A�B�.且当 r�A�=r�A�B�=r=n 时�AX=B 有唯一解�当 r<n 时有无穷多解. 【答案】设 即 分别为矩阵 A 与 B的列向量组.若 AX=B 有解则得

　即 B 的 列 向 量 组 可 由 A 的 列 向 量 组 线 性 表示 � 从 而 但 显 然因此�r�A�=r�A�B�. 反之�若 r�A�=r�A�B�=r�则 B 的列向量组必是 A 的列向量组的线性组合�且以组合系数为列向量所构成的 n×s 矩阵便是 AX=B 的解. 当 r=n 时由于每个__�的解唯一�从而 AX=B 的解也唯一�当r<n 时由于每个 有无穷多解�故 AX=B 也有无穷多解.

　8� �1�设 试求

　�2�设 由下面矩阵级数来定义�

　如果 试证�

　【答案】�1�设 为 A 的特征多项式�则

　 将 代入①得

　解得

　所以

　 �2�设 由上面②求得

　类似可得所以

　 9� 设 A�B 均为 n 阶方阵�A+B=AB�证明�r�A�=r�B�. 【答案】由 A+B=AB�得

　故 类似可得� 故 r�A�=r�B�.

　10� 定义

　试证 都是 V 上线性函数�并找出 V 的一组基 使 是它的对偶基. 【答案】易证 都是 上线性函数. 令 使得 即有

　 解出得

　同样可算出

　满足

　由于

　....

篇六：湖南大学研究生原题数学

大学考研 2005--2009 年数学分析考研真题

　湖南大学 2005 年数学分析

　一． （15 分）

　设 f(x)在 h0limhf(x)dxf(0). 0hx21

　二． （15 分）

　证明函数

　x2e,x0f(x) 0,x0

　是无穷次可微函数.

　x2 三． （15 分）

　设 pn(x)1x2!

　limx. 求证：

　xm0， 且有 mmxn ,xm 是 p2m1(x)0 的实根。

　n!

　四． （15 分）

　设函数 f(x)满足条件：

　 （1）

　af(x)b,(axb);

　（2）

　f(x)f(y)xy,(x,ya,b).

　设 x1a,b， 并且定义序列{xn}：

　 1xn1[xnf(xn)](n1,2,). 2

　xx 存在， 且 f(x)x. 试证：

　nlimn

　五． （15 分）

　证明：

　若函数 f(x)在0,内可微， 且

　xlimf’(x)0,

　则 limxf(x)0. x

　0,1上连续， 证明：

　plnxf(x)1六． （15 分）

　设， 讨论积分 xx

　的敛散性。

　1f(x)dx 七 ． （ 10 分 ）

　设 函 数 列f(x)f(y)Cnxy.x,ya,b.

　其中 Cn 为与 x,y 无关的常数。

　证明：

　如果Cn为有界数列， 而且在a,b上收敛于函数 f(x)， 则fn(x)在a,b上一致收敛于函数 f(x).

　八． （15 分）

　由方程 2x2y2z22xy2x2y4z40 所确定的函数 zz(x,y)的极值.

　九．（10 分）

　曲线 L 是 xy 平面上的任意闭曲线， L 所围成的面积为 S， 且在曲线 L 上满足条件

　dyey2x3yx. dxexy

　yxedxedy， 其中 L 取逆时针方向. 试求L

　十． （15 分）

　计算积

　fn(x)在 区 间a,b上 满 足 Lipschtz 条 件 ，即 fn(x)

　 分 I

　Ddxd， y 其中 D 是

　 由 1,x 0,y所围成的区域 0.

　十一． （15 分）

　计算积分

　ISxdydzydzdxzdxdyx2y2z3

　22.

　其中 S 为任意光滑闭曲面.

　湖南大学 2006 年数学分析

　一（16 分）

　设 f(x)在

　0,内可微并且满足不等式

　 0f(x)ln(2xx)x(0,).

　 证明：

　存在一点(0,)使得

　 f’()2 121

　0 二（16 分）

　设 m,n 为自然数， 计算积分tn(lnt)mdt.

　三（16 分）

　设 f(x)在(,)上具有二阶导数且 f’’(x)0,limf’(x)0， limf’(x)又存在一点 x0， 使 xx

　f(x0)0.证明方程 f(x)0 在(,)上有且只有两个实根.

　四（16 分）

　令an和n为正数数列， 假设 limn0， 且在(0,1)n中有一个数c 使得对每个 n 有

　an1cann

　成立， 证明：

　liman0. n

　五．（16 分）

　令fn(x)为定义在(,)上的可导函数列， 且存在常数 M0， 对所有的 n和 x(,)有 0,

　 fn’(x)M

　成立.假设对 x nlimfn(x)g(x)，

　 则 g(x)在(,)上连续. 12x2 (,)， 有

　 六（18 分）

　已知

　2.设 f(x)2,(0x1).求证当 6n1nn1n

　 0x1 时有 f(x)f(1x)(lnx)ln(1x)2

　6.

　xy(x2y2)22xy022 七（18 分）

　1）

　若 f(x,y)xy 0x2y20

　证明：

　fxy(0,0)fyz(0,0).

　z2）

　函数 zz(x,y)由方程 x2y2z2yf()确定， f是可微函数， y

　证明

　(x2y2z2)zz2xy2xz. xy

　八（16 分）

　在曲面 x2y2z21 上求点 P0(x0,y0,z0)， 且 x00,y00,z00 使该点处曲面的切平面与三坐标面围成的四面体的体积最小.

　九（18 分）

　设 f(u)有连续的一阶导数， 计算

　1x1xf()dydzf()dzdxzdxdy yyxy

　其中是 f x2z2， y8x2z2 所围成立体的外侧.

　湖南大学 2007 数学分析

　一（18 分）

　计算：

　 k2

　; （1）

　lim （2

　 3nk1n2nkn

　）

　limlnn

　二（16 分）

　设 x1xn1,2xn1xn(p1),n1,2,， 证明

　数列 三（16 分）

　设 f(x)在得

　22aabbf’()f’(). 3 收敛. a,b上连续， 在a,b内可导， 且 ba0， 证明：

　存在,a,b使

　 四（16 分）

　确定下面函数的连续区间

　g(y)

　0ln(1x2)dx. yx

　五（16 分）

　设 fn(x)在a,b上连续(n1,2,)， 且fn(x)在开区间(a,b)内一致收敛于 f(x).证明 f(x)在闭区间a,b上一致收敛.

　六（18 分）

　设 f(t)是0,1上的连续函数， 令

　F(x,y)f(t)xytdt. 01

　其中 x,y 满足 x2y21， 求二阶偏导数 Fxx 和 Fyy.

　七（16 分）

　求函数

　f(x)arctan2x

　2x2111122lnx2x2lnx2x2arctan(x1)arctan(x1)4422

　关于 x 的幂级数展开式和收敛半径.

　八（16 分）

　计算积分

　ID(xy)(ln(xy)lny.

　其中区域 D 为 x0,xy1,yx 所围成的三角形区域. 九（ 16 分）

　设 f(x,y)在区域C:x2,y2 上具有二阶连续偏导数， f(1,1)0， 且在点(1,1)达到极值.又设 2f(x,y)M,(x,y)G, l2lxy

　其中 0l2.取区域 D:0x1,0y1， 试证：

　 ID7f(x,y)dxdyM. 12

　 湖南大学 2008 数学分析

　一（16 分）

　设实数列 limxnxn10. nn

　二 （16 分）设函数 f(x)在0,1内有定义， 且有 exf(x)和 ef(x)为0,1内的单调递增函数. 证明 f(x)在0,1内连续.

　三（16 分）

　设函数 f(x)在0,1上可微， 且令

　supf’(x)C xn满足 xnxn20(n).证明

　0x1

　证明， 对任何正整数 n， 有 n1f(j/n)

　j0n1

　0f(x)dxC2n.

　 四（16 分）

　计算积分

　Isinycosydxdy

　 Dy.

　其中 D 是由直线 y 五（16 分）

　证明

　 x 与抛物线 xy2 所围成的区域.

　 f(axbycz)dxdy21(c)du. S其中 S:x2y21,a2b20

　六（16 分）

　求 g， 设

　g

　1

　七（22 分）

　设函数列 fnxnxenx， 当参数取什么值时， 有

　（1）

　函数列在闭区间0,1上一致收敛。

　 （2）

　lim 八（16 分）

　证明恒等式

　dx1 n0xxfnxdx 可以积分号下取极限。

　n0 nn111

　九（16 分）

　设 px为实系数多项式， 证明

　limn1xnpxdxp1. n01

　如果 fx为区间0,1上的连续函数， 关于下式

　limn1xnfxdx, n01

　你能得一个什么结论， 并证明你的结论。

　 湖南大学数学分析——2009 年真题

　一． （16k31 分）

　求极限 lim. 3nk2k1n

　二． （16 分）设 f在a,b上连续， 若对开区间a,b中的任一点均非 f的极值点， 则 f在a,b上单调.

　三． （16 分）

　已知 fx在0,1上连续， 并且有

　 1

　0fxdx0,xfxdx1, 01

　证明：

　存在0,1， 使得 f.

　四． （16 分）

　设函数 fx在,上无限次可微， 且满足

　1）

　存在 M， 使得

　2）

　f20,n1,2,nfkxM,x,k1,2; .

　证明 fx在,上恒为零.

　五． （16 分）

　计算积分0

　六． （16 分）

　积分1

　试证：

　 x1dx. 4x1fxdx 收敛， 且 fx在1,上单调递减， limxfx0.

　七． （22 分）

　设二元函数

　2222

　xyxy0 fx,y220,xy0

　（1）

　求 fx0,0,fy0,0;

　（2）

　证明 fxx,y,fyx,y在0,0点不连续；

　 （3）

　证明函数 fx,y在0,0点可微.

　八． （16 分）

　求积分

　外侧. y2zdxdyxzdydzx2ydxdz, 其中是 zx2y2,x2y21 和坐标面在第一卦限所围成曲面的

　九． （16 分）

　记空间区域 Vtx,y,z;0xt,0yt,0zt.设

　Ftfxyzdxdydz,

　Vt

　其中 fu有一阶连续导数.求 Ft.

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