湖南大学数学研究生参考书目4篇

湖南大学数学研究生参考书目4篇湖南大学数学研究生参考书目　设有两块曲面S1,S2,它们的方程依次为:S1:　F(x,y,z)=0S2:　G(x,y,z)=0S1,S2的交线C上的点一定同时满足下面是小编为大家整理的湖南大学数学研究生参考书目4篇,供大家参考。

篇一：湖南大学数学研究生参考书目

　F (x, y, z) = 0S2:

　G (x, y, z) = 0S1 , S2的交线C上的点一定同时满足这两个方程,而不在交线上的点绝不会同时满足这两个方程.因此即为交线C的方程, 称为空间曲线C的一般方程.0),,(0),,(zyxGzyxF(2)xyzo S1 S2C1. 空间曲线的一般方程

　x2+y2=1x+y+z=2.yxz05: 柱面 x 2 + y 2 = 1与平面x+y+z=2的交线是一个圆, 它的一般方程是

　2. 空间曲线的参数方程将曲线C上动点的坐标x, y, z都表示成一个参数t的函数.x = x (t)y = y (t)

　 (3)z = z (t)当给定 t = t1时, 就得到C上一个点(x, y, z), 随着 t的变动便可得曲线C上的全部点. 方程组(2)叫做空间曲线的参数方程.

　6: 如果空间一点 M 在圆柱面 x2 + y2 = a2上以角速度 绕 z 轴旋转, 同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升(其中,v都是常数),

　那末点M 构成的图形叫做螺旋线, 试建立其参数方程. : 取时间t为参数, 设当t = 0时, 动点位于x轴上的一点A(a, 0, 0)处, 经过时间t, 由A运动到M(x, y, z), M在xOy面上的投影为M (x, y, 0).xyzhAOMMt

　(1) 动点在圆柱面上以角速度 绕z轴旋转,所以经过时间t, AOM  =  t. 从而x = |OM | ·cosAOM  = acos ty = |OM | ·sinAOM  = asin t(2) 动点同时以线速度v沿 z 轴向上升. 因而z = MM  = vt 得螺旋线的参数方程x =

　acos ty = asin tz = vt : 还可以用其它变量作参数.xyzAOMMt

　yxzAOMMt: 令 =  t. 为参数; 螺旋线的参数方程为:x =

　acos y = asin z = b.当从0变到0+ 是, z由b0变到 b0+ b ,即M点上升的高度与OM 转过的角度成正比.特别, 当 = 2 时, M点上升高度h = 2 b,在工程上称 h = 2 b为螺距.vb 这里h

　3. 空间曲线在坐标面上投影设空间曲线C的一般方程由方程组(4)消去z后得方程 H (x, y) = 0

　(5)方程(5)表示一个母线平行于z 轴的柱面, 曲线 C 一定在柱面上.空间曲线 C 在 x O y 面上的曲线必定包含于:H (x, y) = 0z = 0F (x, y, z) = 0G (x, y, z) = 0(4)xyzooC投影

　: 同理可得曲线在yOz面或xOz面上的投影曲线方程.

　7: 已知两个球面的方程分别为:x2 + y2 + z2

　= 1和 x2 + (y 1)2 + (z1)2

　= 1

　 求它们的交线C在xOy面上的投影曲线的方程.解: 联立两个方程消去 z ,得01)21(42z22yx1)21(4222yx两球面的交线C 在 x O y 面上的投影曲线方程为椭圆柱面

　设一个立体由上半球面(: 半球面与锥面的交线为由方程消去 z , 得 x2 + y2 =1于是交线C 在xoy面上的投影曲线为x2 + y2 = 1z = 0所以, 所求立体在xoy面上的投影为:

　 x2 + y2  1和锥面224yxzz)322yxz所围成, 求它在xoy面上的投影.)( 34:2222yxzyxzCyxOx2 + y2  1这是xoy面上的一个圆.8:圆柱面)(

　研究方法是采用平面截痕法.1.ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz +fyz + gx + hy + iz +j = 0所表示的曲面, 称为二次曲面. 其中a, b, …, i, j 为常数且a, b,

　 不全为零.由x, y, z的二次方程:c,d,e, f

　zoxyO2 用平面z = k去截割(要求 |k |  c), 得椭圆当 |k |  c 时, |k |越大, 椭圆越小;当 |k | = c 时, 椭圆退缩成点.kzckbyax22222212. (1) 椭球面1 用平面z = 0去截割, 得椭圆.012222zbyax1222222Czbyax

　3 类似地, 依次用平面x = 0,平面 y = 0截割, 得椭圆:,01222: 当a=b=c时, 方程x2 + y2 + z2 = a2, 表示球心在原点o, 半径为a的球面.2xczby.012222yczax

　(2) 椭圆抛物面: 1 平面 z = k ,(k  0)截割, 截线是平面 z = k上的椭圆.k = 0时, 为一点O(0,0,0); 随着k增大, 椭圆也增大.2 用平面 y = k去截割, 截线是抛物线,zbyax2222kzkbyax2222zyxo2222kyzbkax.

　,022axzk为时当

　3 类似地，用平面 x = k 去截割, 截线是抛物线.kxzbyak2222.

　,022byzk为时当

　设有数表a11a21称数a11 a22－a12 a21为对应于数表(1)的二阶行列式，记为：(1)(1)22211211aaaa(＋)副对角线主对角线1.1a12a2221122211aaaa(－)

　当 a11 a22－a12 a21  0时，221a,2112221112a21aaababx2112221121a11122aaaababx得唯一解对于a11 x1+ a12 x2 = b1a21 x1+ a22 x2 = b2(1)(1)2、二元一次 方程组的求解公式

　记1D2DD方程组(1)的解可以表示为：,DDx11DDx22——克莱姆(Gramer)法则(2)(2),122221abab,211112abab2221b1211a12aaa时022aba21b11a21a21b,211222a11b12a21a22211aba2aaababx211222111112aaaxa11 x1+ a12 x2 = b1a21 x1+ a22 x2 = b2

　引进记号：主对角线333231232221131211aaaaaaaaa(+)(+)(+)(－)(－)(－)31aa23aa12aa2223a1311a323321211312aaaaaa3132a称为对应于数表(3)的三阶行列式D332211aaa1.2设有数表333231232221131211aaa副对角线aaaaaa(3)(3)

　315214132511753125－) 24() 3((314) 21(2) 31

　对于线性方程组333323213123232221211313212111bxaaxaaxabxaxaxabxaxaxaa(4)当333231232221131211aaaaaaD 时0

　方程组有唯一解，记b则方程组(4)的解为：,DDx11,DDx22DDx33,33b32232213121aaaaaaD 321bab,3331232113112aaaaaaD 321bbb3231222112113aaaaaD 321bb——克莱姆法则

　<1> 由自然数1, 2, …, n 组成的一个有序数组i1, i2, …, in称为一个n级排列。例如，由1，2，3可组成的三级排列共有3!＝6个，它们是1 2 3; 1 3 2; 2 1 3; 2 3 1; 3 1 2;n级排列的总数为n!个。33 2 1;

　<2> 一个排列中，若较大的数 is 排在较小的数 it 的前面 ( is > it ) 时，称这一对数 is it 构成一个逆序。一个排列中逆序的总数，称为它的逆序数。记为(i1, i2, … in)，简记为 。(1

　2

　3)=0,(3

　1

　2)=2,(4

　5

　2

　1

　 3)=7,1

　3

　22

　1

　33

　1

　2

　(3) 逆序数为偶数的排列称为偶排列逆序数为奇数的排列称为奇排列(4) 将一个排列中两个位置上的数互换，而其余不动，则称对该排列作了一次对换。6 5 3 1 2 4( =11)1 2 3 4( =0)6 2 3 1 5 4( = 8)1 4 3 2( = 3)

　1

　n ( 2) 2! n

　n333231232221131211aaaaaaaaaD 312312a322113a33a22a =3a11aaaaa =1aaaaaaaa =0a332112322311312213 =2 =1 =2)(321) 1(jjj321321jjjaa

　22211211aaaaD 21122211a(jaaa1212121jj)jτaa)(

　nnnnnnaaaja(aaaaaaD212222111211nnnjjjjjaa212121)() 1n阶行列式4

　1 计算下列n阶行列式aD0aDnnaa221110nnaaa2211nnnnaaaaa2122211120nnaaa2211

　nnnnnnnnaaaaaaD11212130) 1() 1

　211 (nn112nnnaaa12) 2) 1() 1(2(nn) 1(1nn

　nnnnnnnnaaaaaaD11212130) 1(() 1

　12a1 (nn112nnnaa11212) 1() 1nnnnnaaa

　333231232221131211aaaaaaaaa332211a22aaa3232a21a3213aa23a11aa133121a31a23a12aa21a12a3213aa33行排列列排列2

　1

　3( =1)1

　3

　2( =1)( = 0)1

　2

　3( = 2)3

　1

　2考察：2113aaaa

　2 n阶行列式的定义也可写成D )(21) 1(niiiniiinaaa2121nnjijijiaaa2211) 1()(21niii)(21njjj 推论：D

　2选择 i 和 k ，使1 成为5阶行列式中一个带负号的项可将给定的项改为行标按自然顺序，即1 则  (1

　5

　2

　4

　3) = 4，是偶排列，该项则带正号， 对换1，4的位置， 则 4 5

　2

　1 3是奇排列。5325432aaaaaki解:其列标所构成的排列为：

　i 5 2 k 3若取 i = 1，k ＝ 4，故 i = 4，k = 1 时该项带负号。5343225aaaaaki

　1将行列式的行、列互换，行列式的值不变ana即：,DD = DT行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式。则naaaa11211a22221nnnnaa21naaa11211TDnaaa22221nnnnaaa21

　显然有 bij = aji(i, j=1, 2, …; n)TD) 1D则nnnjjjjjjbababa212121)() 1((njjjjjjnn21)(2121设行列式 DT 中位于第 i 行，第 j 列的元素为 bij

　2 互换行列式的两行(列)，行列式仅改变符号1a,2111211nnnnnaaaaaaaaaMaaaqnqq21pnpp21则 D=－M,211211nnnnnaaaaaaDaaaqnqq21pnppaa21

　在 M 中第 p 行元素第 q 行元素j= – D,,aaaa)jjqpajpjaqn.,,,j21annnjjjaM111() 1(p jq jppjq jqnnnjjjjaaq111)() 1(p jq jpjap jqannnjjjjaaq111)() 1(p jq jpjap jqannnjjjjaaq111)() 1(p jq jpjap jqa—

　1若行列式中有两行(列)对应元素相同，则行列式为零。: 交换行列式这两行，有D = －D，故D = 0

　3 若行列式某一行(列)的所有元素都乘以数 k，等于该行列式乘以数 k，即：nkDnnnniniinaaaaaaaaa212111211 knnnnaaaaaa2111211iniikakaka211D

　2若行列式中的某行(列)全为零，则行列式为零。3若行列式中有两行(列)的对应元素成比例，则该行列式为零。ninnjijjjjjakaaanD)() 1((1211a)(1 kkD kkninjijjjjja1211)() 1k

　4 若行列式中某一行(列)的各元素都是两个数的和，则该行列式等于两个行列式的和。即:21DD nnnnnaaaaaaaaa2111211nnnnnaaaaaaaaa2111211inii21inii21nnnnnaaaaaa2111211ininiiiiaaaaaa2211D

　21DD nnnjjjjjaaaD1211)() 1) 1((+)(aiij ij iaaannnjjjjjaa1211)() 1(nnnjjjjj1211)(ij iiji a

　5 把行列式的某一行(列)的各元素乘以数k后加到另一行(列)的对应元素上去，行列式的值不变。即：aakannnnnaaaaaaaa2111211iniiaa21jnjj21nnnnnaaaaaaaa2111211iniia21iniikaka211 j a2 j ajna

　用 ri 表示 D 的第 i 行cj 表示 D 的第 j 列ri

　 rj表示交换 i、j 两行ri × k 表示第 i 行乘以 kri + k rj 表示第 j 行乘以 k 加到第 i 行ri  k 表示第 i 行提出公因子 k

　1 计算行列式2032222973430231D3200300232133003430031D3223342312002230034505

　2计算行列式33151110243152113D解：Dc1 c23315112043512131331511206480213r2－ r1

　72216301112064802131r4＋ 5r1r2  r37221160648011202131r3

　+ 4 r2r4 －8 r215104000108001120125000108001120313445rr 25821

篇二：湖南大学数学研究生参考书目

　世行贷款) 的成果之一 .课件与课题的另 一成果：

　普通高等教育 “十五”国家级规划教材——大学数学系列教材 (

　高等教育出版社出版 ) 配套 .

　一元微积分学教学内 容一元微积分学教学内 容2第二章 数列的极限常数项级数1第一章 集合与函数3第三章 函数的极限与连续性4第四章 一元函数的导数与微分5第五章 一元函数的积分6第六章 一元微积分的应用7第七章 常微分方程8第八章 常差分方程

　一元微积分学教学内 容一元微积分学教学内 容2第二章 数列的极限常数项级数1第一章 集合与函数3第三章 函数的极限与连续性4第四章 一元函数的导数与微分5第五章 一元函数的积分6第六章 一元微积分的应用7第七章 常微分方程8第八章 常差分方程

　第 1 讲集合与映射第一章第一章 集合与函数集合与函数第 0 讲一元微积分历史简介点第讲点第讲点第讲点第讲点第讲点第讲点第讲点第 2 讲点函数及其基本性质性质点返回

　第 4 讲数列极限的收敛准则第二章第二章 数列的极限与常数项级数数列的极限与常数项级数第 3 讲数列的极限点第 6 讲点第讲点第讲点第讲点第讲点第讲点第讲点第 5 讲点常数项级数的概念点常数项级数的审敛法返回

　第 8 讲无穷小量第三章第三章 函数的极限与连续性函数的极限与连续性第 7 讲函数极限的概念点第10讲点第11讲点第13讲点第12讲点第14讲点第讲点第讲点第 9 讲点函数极限的运算点返回两个重要极限、 极限存在准则无穷小量的比较函数的连续性闭区间上连续函数的性质函数项级数、 幂级数

　第16讲求导法则第四章第四章 一元函数的导数与微分一元函数的导数与微分第15讲导数的概念点第18讲点第19讲点第21讲点第20讲点第讲点第讲点第讲点第17讲点高阶导数点返回函数的微分微分中值定理罗必达发则泰勒中值定理

　第23讲微积分的基本公式第五章第五章 一元函数的积分一元函数的积分第22讲定积分的概念点第25讲点第26讲点第讲点第27讲点第讲点第讲点第讲点第24讲点不定积分及其计算点返回不定积分及其计算(续)定积分的计算广义积分

　第29讲一元微积分应用 (二)第六章第六章 一元微积分的应用一元微积分的应用第28讲一元微分学应用 (一)点第31讲点第32讲点第讲点第33讲点第讲点第讲点第讲点第30讲点一元微积分应用 (三)点返回一元微积分应用 (四)一元微积分应用 (五)一元微积分应用 (六)

　第35讲一阶微分方程第七章第七章 常微分方程常微分方程第34讲微分方程的概念点第37讲点第38讲点第讲点第讲点第讲点第讲点第讲点第36讲点可降阶的高阶微分方程点返回线性微分方程解的结构高阶常系数线性微分方程、 欧拉方程

　第40讲集合与映射第八章第八章 常差分方程常差分方程第39讲一元微积分历史简介点第42讲点第43讲点第讲点第讲点第讲点第讲点第讲点第41讲点函数及其基本性质性质点返回

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　高等院校非数学类本科数学课程———— 一元微积分学一元微积分学大大 学学 数数 学学（ （一一）

　）绪论绪论 ———— 微积分的历史简介微积分的历史简介脚本编写、 教案制作：

　刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民

　聊聊天聊聊天微积分的产生——17、 18、 19世纪的微积分.很久很久以前,

　 在很远很远的一块古老的土地上, 有一群智者……开普勒、 笛卡尔、 卡瓦列里、 费马、 帕斯卡、格雷戈里、 罗伯瓦尔、 惠更斯、 巴罗、 瓦里斯、牛顿、 莱布尼茨、 …… .

　任何研究工作的开端， 几乎都是极不完美的尝试， 且通常并不成功。

　每一条通向某个目的 地的 路都有许多 未知的 真理， 唯有一一尝试， 方能觅得捷径。

　也只 有甘愿冒险， 才能将正确的途径示以他人。

　……可以这样说， 为了寻找真理， 我们是注定要经历挫折和失败的。——狄德罗十七世纪的微积分十七世纪的微积分

　任何重要思想的起源都可以追溯到几十年或几百 年以 前， 函数的 概念也是如此。

　直到 1 7世纪， 人们对函数才有了 明 确的理解。

　函数概念的提出 ， 与伽利略和格雷戈里有关。

　格雷戈里将函数定义为这样一个量：它是其他的量经过一系 列 代数运算而得到的，或者经过任何其他可以想象到的运算而得到的。

　因 为这个定义太窄， 所以很快就被遗忘了 ， 并被陆续出 现的其它关于函数的定义替代。

　但即使是最简单的函数也会涉及到实数。

　而无理数在17世纪时并不被人们充分了 解， 于是， 人们在处理数值时就跳过逻辑， 对函数也是如此。

　在1650年以前， 无理数就一直被人们随心所欲地使用 着。

　紧接着函数概念的采用 ， 产生了 微积分， 它是继欧几里德几何之后， 全部数学中 的一个最伟大的创造。

　虽 然在某种程度上， 它是已被古希腊人处理过的那些问 题的解答， 但是， 微积分的创立， 首先还是为了 处理十七世纪主要的科学问题的。

　哪些主要的科学问题呢?哪些主要的科学问题呢?有四种主要类型的问题.有四种主要类型的问题.Archimedes

　第一类问题已知物体移动的距离 表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度； 反过来， 已知物体的加速度表为时间的函数的公式， 求速度和距离。

　困难在于：

　十七世纪所涉及的速度和加速度每时每刻都在变化。

　例如， 计算瞬时速度， 就不能象计算平均速度那样， 用 运动的时间去除移动的距离， 因为在给定的瞬刻， 移动的距离和所用 的时间都是 0， 而0 / 0 是无意义的。

　但根据物理学， 每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度， 是不容怀疑的。第一类问题

　求曲线的切线。这个问题的重要性来源于好几个方面：

　纯几何问题、 光学中研究光线通过透镜的通道问题、 运动物体在它的轨迹上任意一点处的运动方向问题等。第二类问题

　第二类问题困难在于：

　曲线的“切线”的定义本身就是一个没有解决的问题。古希腊人把圆 锥曲线的切线定义为“与曲线只 接触于一点而且位于曲线的一边的直线”。

　这个定义对于十七世纪所用 的较复杂的曲线已经不适应了 。

　第三类问题求函数的最大最小值问题。十七世纪初期， 伽利略断定， 在真空中以角发射炮弹时， 射程最大。研究行星运动也涉及最大最小值问题。45

　困难在于：

　原有的初等计算方法已不适于解决研究中出现的问题。

　但新的方法尚无眉目 。第三类问题

　第四类问题求曲线的长度、 曲线所围成的面积、 曲面所围成的体积、 物体的重心、 一个体积相当 大的物体作用 于另 一个物体上的引 力。

　困难在于：

　古希腊人用 穷竭法求出 了 一些面积和体积， 尽管他们只是对于比较简单的面积和体积应用了 这个方法， 但也必须添加许多 技巧， 因 为这个方法缺乏一般性， 而且经常得不到数值的解答。穷竭法先是被逐步修改， 后来由微积分的创立而被根本修改了 。第四类问题

　欧多 克斯的穷竭法是一种有限且相当 复杂的欧多 克斯的穷竭法是一种有限且相当 复杂的几何方法。

　它的思想虽 然古老， 但很重要， 阿基米德用 得相当 熟练， 我们就用 他的一个例子来说明一下这种方法。几何方法。

　它的思想虽 然古老， 但很重要， 阿基米德用 得相当 熟练， 我们就用 他的一个例子来说明一下这种方法。看一下阿基米德在证明两个圆的看一下阿基米德在证明两个圆的面积比等于其直径平方比所作的面积比等于其直径平方比所作的工作。工作。Archimedes

　阿基米德证明的主要精神是证明圆可以被圆内 接多 边形穷竭。在圆 里面内 接一个正方形， 其面积大于圆面积的 1/2 （ 因为它大于圆 外切正方形面积的1/2， 而外切正方形的面积大于圆的面积。

　）

　ABEDC设 AB 是内 接正方形的一边， 平分弧 AB 于点C 处并连接 AC 与 CB 。作C 处的切线， 并作 AD及 BE 垂直于切线。12||||2132//1BCAB

　DE故从而， ABED 是一个矩形，其面积大于弓 形 ACB 的面积 。

　因此， 等于矩形面积（。一半的三角 形ABC 的面积大于弓 形ACB 面积的一半。对正方形的每边都这样做， 得到一个正八边形。3

　8 边形所得到的八边形不仅包含正方形且包含圆与正方形面积之差的一半以上。

　在八边形的每边上也可按照在AB 上作三角 形ABC 那样地作一个三角 形， 从而得 到 一 个 正 十 六 边形。16边形

　32边形32边形64边形64边形16边形这个正十六边形不仅包含八边形且包含圆 与八边形面积之差的一半以上。这种做法你想做多 少次就可以做多 少次。

　可以肯定， 圆与某一边数足够多 的正多 边形面积之差可以弄得比任何预先给定的量还要小。

　希腊数学的重大成就之一， 是将许多 数学命题和定理按逻辑上连贯的方式归为为数不多 的非常简单的公设或公理。

　即熟知的几何公理和算术法则， 它们支配着如整数、 几何点这样一些基本对象之间的关系。这些基本对象是作为客观现实的抽象或理想化而产生的。

　各项公理， 或因从哲学观点看可以认为是“显然”的， 或仅仅因其非常有说服力， 而被不加证明地予以接受。这可靠吗？

　已定型 的 数学结构就建立在这些 公理的 基础之上。

　在后来的许多 世纪中 ， 公理化的欧几里德数学曾被认为是数学体系 的典范， 甚至为其他学科所努力效仿。

　（ 例如， 像笛卡尔、 斯宾诺沙等哲学家， 就曾试图把他们的学说用 公理方式， 或者如他们所说， “更加几何化”地提出来， 以便使之更有说服力。

　）

　经过中 世纪的停滞时期后， 数学同 自 然科学一经过中 世纪的停滞时期后， 数学同 自 然科学一起， 在新出 现的微积分的基础上开始了 突飞猛进的发起， 在新出 现的微积分的基础上开始了 突飞猛进的发展， 这时公理化的方法才被人们遗弃了 。展， 这时公理化的方法才被人们遗弃了 。

　曾经极其广泛地开拓了 数学领域的有创造才能的曾经极其广泛地开拓了 数学领域的有创造才能的先驱们， 并不因为要使这些新发现受制于协调的逻辑先驱们， 并不因为要使这些新发现受制于协调的逻辑分析而束缚住自 己， 因此， 在十七世纪， 逐渐广泛地分析而束缚住自 己， 因此， 在十七世纪， 逐渐广泛地采用 直观证据来代替演绎的证明。

　一些第一流的数学采用 直观证据来代替演绎的证明。

　一些第一流的数学家在确实感到结论无误地情况下， 运用 了 一些新的概家在确实感到结论无误地情况下， 运用 了 一些新的概念， 有时甚至运用 一些神秘的联想。

　由于对微积分新念， 有时甚至运用 一些神秘的联想。

　由于对微积分新方法的全面威力的信念， 促使研究者们走得很远（ 如方法的全面威力的信念， 促使研究者们走得很远（ 如果束缚于严格的限制的框架上， 这将是不可能的）

　。果束缚于严格的限制的框架上， 这将是不可能的）

　。不过只有具备卓越才能的数学大师们才有可能能避免不过只有具备卓越才能的数学大师们才有可能能避免发生大错。发生大错。

　微积分不仅使用 了 函数概念， 还引 入了 两个全新的且更为复杂的概念：

　微分和积分。

　这样， 除了 用 来处理数值所需要的基础外， 还需要逻辑方面的基础。

　微分与积分是分析中 的两种基本的极限过程。这两种过程的一些特殊的情况， 甚至在古代就已经有人考虑过（ 在阿基米德工作中 达到高峰）

　， 而在十六世纪和十 七 世纪， 更是越来越受到 人们 的 重视。

　然而， 微积分的系 统发展是在十七世纪才开始的， 通常认为是牛顿和莱布尼茨两位伟大的科学先驱的创造。

　这一系 统发展的关键在于认识到：

　过去一直分别 研究的微分和积分这两个过程， 实际上是彼此互逆的联系着。

　公正的历史评价， 是不能把创建微积分归功于一两个人的偶然的或不可思议的灵感的。

　许多 人，例如， 费马、 伽利略、 开普勒、 巴罗等都曾为科学中 的这些具有革命性的新思想所鼓舞， 对微积分的奠基作出过贡献。事实上， 牛顿的老师巴罗， 就曾经几乎充分认识到微分与积分之间 的互逆关系 。

　牛顿和莱布尼茨创建的系统的微积分就是基于这一基本思想。

　如果我们 考虑用 小 球下落中 时间 间 隔来代替时刻， 用 它在这一段时间间隔内 下降的距离 除以所用 时间， 就得到这一间隔中 小球的平均速度。

　我们可以计算从第四秒起， 间隔为 1/2

　秒， 1/4 秒， 1/8 秒， ……内 的平均速度。

　显然， 时间间隔越短， 计算出 来的平均速度就越接近第四秒时的速度。

　这就是说， 我们有了 一个方案：

　首先计算不同 时间间隔内 的平均速度，然后研究当 时间间隔越来越小时， 它们会趋近于哪一个数。

　这个数就是要求的 小 球在第 四秒时第 瞬时速度。费马研究的一个问题费马研究的一个问题费马研究的一个问题假设一个小球正向地面落去， 我们想知道下落后第 4 秒时小球的速度（ 瞬时速度）

　。

　小球下落的运动状态可用 下面的公式描述：)(

　 162英尺td 费马所在时代用的是英制单位的是英制单位费马所在时代用

　,

　256416

　 d

　4时，

　t2当设任意一个时间增量是 h ， 在第（ 4 + h）

　秒时，小球会下降 256 英尺加上距离增量 k :

　16128256)4 (1625622hhhk即 161282hhk

　在 h 秒内 （ 时间间隔）

　的平均速度为

　16128161282hhhhhk幸好费马作了 这个现在看来并不合理的除法运算， ……运算， ……幸好费马作了 这个现在看来并不合理的除法令 h = 0 ， 得到小球在第四秒时的下落速度 128d

　)

　是牛顿发明的记号(d? ?

　费马推导的问题所在费马推导的问题所在费马推导的问题所在

　 时， 才能对方程两边作2h0

　h 的运算。同除以只有当h 只有当1612816128

　hhhhk即

　时才正确。0 h这样就不能令 h = 0 而得出结...

篇三：湖南大学数学研究生参考书目

　第一章多元函数微分学

　曾金平

　曾金平教案编写：

　刘楚中电子制作：

　刘楚中

　第一章 多 元函数微分学本章学习 要求：1. 理解多 元函数的概念。

　熟悉多 元函数的“点函数”表示法。2. 知道二元函数的极限、 连续性等概念， 以及有界闭域上连续函数的性质。

　会求二元函数的极限。

　知道极限的“点函数”表示法。3. 理解二元和三元函数的偏导数、 全导数、 全微分等概念。了 解全微分存在的必要条件和充分条件。

　了 解二元函数的偏导数和全微分的几何意义。4. 熟练掌握二元和三元函数的偏导数、 全导数、 全微分的计算方法及复合函数求导法。

　能熟练求出函数的二阶偏导数。

　了 解求偏导与求导顺序无关的条件。5. 理解方向导数的概念， 并掌握它的计算方法以及它与梯度的关系。

　6. 会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的一阶、 二阶偏数。7. 知道二元函数的泰勒公式形式。8. 知道 n 元函数的偏导数概念及其求法。9. 熟悉平面的方程和直线的方程及其求法。10. 了 解空间(平面)曲线的参数方程和一般方程。

　知道曲面方程。11. 了 解曲线的切线与法平面、 曲面的切平面与法线的概念,并能熟练求出它们的方程。

　知道曲线族的包络的概念及其法。12. 理解二元函数无约束极值的概念， 能熟练求出二元函数的无约束极值。

　了 解条件极值（ 有约束极值）

　的概念， 能熟练运用 拉格朗日 乘数法求条件极值。13. 掌握建立与多 元函数极值有关的数学模型的方法。

　会求解一些较简单的最大值和最小值的应用 问题。

　第一节 多 元函数的概念集合的连通性邻域区域有界集无界集开集闭集多 元函数多 元函数的极限多 元函数的累次极限多 元函数的连续性

　回忆一维空间中点的邻域概念利用 “点” 将邻域概念推广到高维空间

　 ：),U(

　邻域  的 x00点x}||

　|{0 xxx}),d( |{),U(00xxxx()0x.0x0x

　()0x.0x0x回忆一维空间中点的邻域概念利用 “点” 将邻域概念推广到高维空间

　 ：),U(

　邻域  的 x00点x}||

　|{0 xxx}),d( |{),U(00xxxx0X0X0XX||),d(00XXXX

　 中邻域的定义 R

　空间. 1n

　0为实数， 则称集合

　)

　, 3

　, 2 n(

　0X，设Rn}),d( |{),U(00XXXX

　 。),U(

　邻域， 记为  的 X 中点 Rn00为X想想: 二维、 三维空间中点的邻域是什么样子 ?

　 }

　)()( | )y,{(),U( 20200yyxxxXOxy.),(000yxX

　 2中：在 R开圆盘

　 3中：在 R开球体Oxyz.),,(0000zyxX }

　)()()(

　| )z,,{(),U( 2020200zzyyxxyxX

　去心邻域的概念也可搬过来。

　 中去心邻域的定义空间nR

　0为实数， 则称集合

　)

　, 3

　, 2 n(

　0X，设Rn}),d(0

　|{),U(00XXXX

　 。),(Uˆ

　 去心邻域， 记为  的 X 中点 Rn00为X

　 }

　)()(0

　| )y,{(),U( 20200yyxxxX

　2中：在 R }

　)()()(0

　| )z,,{(),U( 2020200zzyyxxyxX

　3中：在 R

　2.

　开集、 闭集、 有界集、 无界集

　集合的内 点、 外点、 边界点。E边界点外点内 点 ···E)(U0XE)(U0X)U(0X其内 既有 E的点也有不属于E 的点边界点不一定属于集合！边界点不一定属于集合！

　E集合E 的聚点

　 0E，， 若设有集合E) ,(Uˆ0X

　。

　的一个聚点E

　 为集合 0则称点 X聚点聚点聚点    

　的内 点、 }

　1集合0

　|

　),{(E

　22yxyx

　的聚点。E

　 都是) 0

　, 0 (

　1上的点、 以及点 x22圆周 yOxy....1聚点可能属于集合 E ,也可能不属于集合 E 。例

　集合的孤立点

　， 其内 不含集合)(Uˆ

　 ， 但存在E X 00若点X

　 。

　的孤立点E

　 为集合 X 则称, 的点E0集合的孤立点一定是集合的边界点集合的孤立点一定是集合的边界点. .孤立点是否为集合的边界点？孤立点是否为集合的边界点？

　},1| )y,{(E

　Nnnyxx集合的所有点均为 E 孤立点。xyO.(1,1))2.,(121......

　为其聚点) 0

　, 0 (

　但点例

　开集、 闭集

　 为E

　中的开集。则称集合nR

　E

　点，中的每一点均为它的内若集合

　，E

　包含了 它的所有聚点若集合

　 为E

　。中的闭集则称集合nR喂！

　是所有聚点哦！由内点构成的集合！

　有界集有界集

　为E

　则称),

　rU(O,E

　使, 0 r 若.

　,

　,

　 中的有界集称为无界集否则nRyxOOEEr中的有界集2R

　) rU(O,E

　 

　xyO aE无界集 },| )y,{(E

　ybxaxb

　集合的连通性集合的连通性 EE

　内 的全位于中的任意两点均可用 完若

　.

　 中的连通集 R 为E

　则称,折线连接起来n

　.

　 为不连通的E

　,

　称否则连通集连通集单连通集单连通集复连通集复连通集分为

　集合的连通性集合的连通性集合的连通性单连通单连通复连通复连通EE....不连通不连通E..

　是有界判别下列集合的有界性、 连通性及开闭:

　 是无界}1),{(222yxyxE是有界}164| )z,,{(2223zyxyxE连通开集连通闭集连通非开非闭集例

　}

　4

　|

　),{(221yxyxE

　? 是开集还是闭集 R

　 

　空集, 中 R与全集空间nn

　..::是开集又是闭集是开集又是闭集空间中的空集与全集既空间中的空集与全集既规定规定

　3. 区域区域是连通开集.区域是连通开集.区域  的内点及边界点都是它的聚点.区域  的内点及边界点都是它的聚点.

　,

　 为一连通开集 则称若非空集nR

　. R 为中的区域n注意：

　集合的聚点不一定属于集合.开的

　 的所有边界点构成的集合的边界,

　记为称为 

　区域的边界

　区域与其全部边界点的并集, 称为闭区域.记为

　谢谢观看！

　第二节 多 元函数的极限与连续性极限极限的运算法则连续性连续函数的运算法则有界闭区域上连续函数的性质推广的思路

　第二节 多 元函数的极限与连续性极限极限的运算法则连续性连续函数的运算法则有界闭区域上连续函数的性质回忆一元函数的情形推广到多 元函数中验证可行性形式上形式上

　一一.

　.

　多 元函数的极限及极限的运算多 元函数的极限及极限的运算

　x0.,0xyay  ay ay().x(..()a)(xfO)(xfy P.)Uˆx),U(a

　的几何意义)(limx

　0axfx

　x0.,0(xxyay  ay ay().x(..()a)(xfO)(xfy P.)Uˆx),U(a

　的几何意义)(limx

　0axfx),Uˆ0x

　x0.,0(xxyay  ay ay().x(..,()aa)(xfO)(xfy P.)Uˆx),U((xU(a

　的几何意义)(limx

　0axfx),Uˆ0x))f

　回忆一元函数极限的概念的回忆一元函数极限的概念的

　 .

　的聚点I

　 为

　 I,

　 )( y0设xxxf , 时),(Uˆ x

　当点, 0 

　, 0  0若x

　 则称, |)(|

　 即

　),,U()(axfaxf .

　a)(limx0xfx现在进行形式上的推广现在进行形式上的推广

　回忆一元函数极限的概念的回忆一元函数极限的概念的

　 .

　的聚点I

　 为

　 I,

　 )( y0设xxxf , 时),(Uˆ x

　当点, 0 

　, 0  0若x

　 则称, |)(|

　 即

　),,U()(axfaxf .

　a)(limx0xfx现在进行形式上的推广现在进行形式上的推广X Xfu )(的聚点

　为

　0X),(Uˆ0XX ),U()( faX|)(|aXf )(lim X0aXfX进行整理理进行整

　 .

　 的聚点

　为

　X,

　 )( u0设XXf , 时),(Uˆ X 

　当点, 0 

　, 0  0若X

　 则称, |)(|

　 即

　),,U()(aXfaXf.)(limX0aXfX我们完成了 极限概念的推广工作.我们完成了 极限概念的推广工作我们完成了 极限概念的推广工作. . （ 重极限）

　二元函数极限的定义二元函数极限的定义 , 时D),(Uˆ X 

　当点, 0 

　, 0  0若X时的极限(二重极限) ,

　 记为 .),(limx)(limX000ayxfXfyyxX0 X 当)( z 为 aXXf则称 ),,U()( faX有

　X ,D),(

　,

　)( z2RyxXXf设

　.

　D 为),(000的聚点yx

　几点注意.), U( 及 X00的某些点可无定义内函数在点X.

　可以任意方式沿任何方,),( U 的邻域 X 落在点 X00行向进内点X

　 .

　 ||

　 ),,(U z,  |)(|

　即),,aU()(fazaXaXf亦即., 时) 3(

　 的类似极限的定义与二元函数nRXn

　. 处有定义 X 在点)( f)()(0

　即D,),(Uˆ20200且XyyxxXX)(Xfz 

　多 元函数极限的性质、 定理多 元函数极限的性质、 定理多 元函数的极限如果存在,

　则必唯一.

　.

　 时的无穷小量 X 为)( 

　则称, 0)(lim X00若XXXX limaXfaXfXX)( )(0应 用 这个性 质 ,

　可将一元函数的极限运算法则 和性质推广 到 多 元函数中来..

　0limX

　),(Uˆ

　X,00XX其中

　由于.

　||||lim

　x2200yxyxy求||||022yxyx怎么办?怎么办?||||||||22yxyyxx怎么办?怎么办?||||

　||||22yxyyxx而, 0) ||||

　(limy00yxx故由夹逼定理,

　得0||||limy2200yxyxx夹逼定理例解

　又(有界量)(无穷小量)无穷小量的性质.

　21sin)(lim x22200yxyxy求由于1

　1 ysin 22x0)(limy2200yxx.

　01sin)(lim

　y

　222200yxyxx故例解

　有理化 (平方差公式).

　11

　lim

　y222200yxyxx求1)1 () 11

　2)((limy2222200yxyxyxx原式2) 11

　(limy2200yxx例解

　等价无穷小替代似曾相识似曾相识.sinlim

　x20xyxy求xxyxxyyxlimyxlim2020sin . 2limx20yy例解

　2sinlimylimysinxylimysinlimy20202020xyxyyxyyxxyxxxx利用 重要极限此题另 一解法此题另 一解法

　.1x1lim

　x25yxxy求例解

　,

　e1x1lim x15eyxxxy原式

　.

　1limy

　 ,

　e1x1limy

　 55yxxxxx其中利用 重要极限

　例解

　.

　 的次数相同x , 时

　y 2分子与分母关于当x

　, y 2则取kx

　 .

　21limx),(limx424220000kkxkxkxxyxfyy 的方式和方向无关, ) 0 , 0 (),(yx由于极限存在应与而上述结果与 k 值有关, 故原极限不存在.

　.

　),(lim x00yxfy求),(

　yxf设,

　0

　,22242yxyxyx,

　0

　,

　022 yx

　该例还说明一个问题该例还说明一个问题对此你有什么 想法 ?对此你有什么 想法 ?,

　 2xky 虽然沿无穷多 个方向：,

　函数均有极限, 时) 0 , 0 (),(

　当yx

　.

　 不存在),( flim

　x00但函数的极限yxy

　多元函数的极限不存在.“无穷多个方向”不等于“任意方向”.可利用方向性来判别

　累次极限累次极限累次极限是指的下列极限一般说来,

　这两个极限不一定相等.在高等数学中,

　运算顺序不能随便交换.),(limylimxyxfba) )y,(limy(limxxfba),(limxlimyyxfab) )y,(limx(limyxfab

　定理定理若两个累次极限存在, 但不相等：),(limxlimy),(limylimxyxfyxfabba.),(limx不存在则二重极限yxbya

　.lim x2200yxyxyxy求1limxlimylimx202200xxxxyyxyx1limylimxlimy202200yxyyyyxyx由于两个累次极限不相等,

　故.

　不存在limx2200yxyxyxy例解

　二重极限存在不一定能推出累次极限存在.二重极限存在不一定能推出累次极限存在.则有

　设, 0

　,1ysin),( f22yxxyx)

　1|1ysin|

　(

　01ysinlimy00xx但.

　不存在)1ysinlimy(limx1ysinlimylimx0000xx例

　即算两个累次极限存在且相等即算两个累次极限存在且相等, ,也不一定能推出二重极限存在. .也不一定能推出二重极限存在请同学们课后讨论函数22),(yxxyyxf时的两类极限.) 0, 0 (),(yx当

　二.

　多 元函数的连续性二二.

　.

　多 元函数的连续性多 元函数的连续性多 元函数的连续性与一元函数的连续性类似多 元函数的连续性与一元函数的连续性类似, ,与函数的极限密切相关与函数的极限密切相关. .

　二元函数连续性的定义二元函数连续性的定义 , 时D),U( X 

　当点, 0 

　, 0  0若X在 则称二元函数

　有),( f),),(U()( f0yxXfX

　.

　D

　 ,

　 ),(

　z02XRDXXf设

　 .

　0处连续点 X

　 .

　0称为函数的连续点点 X

　为函数定义域的聚点， 0则函数在点若 X

　 0处的连续性等价于X

　 . )0()(limX0XfXfX.

　 的聚点D

　为 X

　则, 内 有定义)U(

　在)( f00若XX

　若函数在区域  上的每一点都连续,

　则称函数在区域  上连续,记为. )()( CXf)(Xf)(Xf

　数中讨论区间端点处连续性的情形.如果点为区域  的边界点, 则只需讨论X点的邻域中属于 的那一部分, 类似于一元函X

　与一元函数类似：与一元函数类似：和、 差、 积、 商(分母不能为零) 仍是仍是连续函数；可以参考以下两本书二元函数连续函数的运算二元函数连续函数的运算连续的多 元函数的复合函数仍连续.在一定的条件下,

　连续的多 元函数的

　1.《分析中的反例》[美] B.R.盖尔鲍姆,

　 J.M.H.奥姆斯特德,

　 上海科学出版社 ,

　1980.2.《高等数学是非300例分析》计幕然等,

　北京航空学院出版社,

　1985.

　与一元函数类似与一元函数类似由基本初等函数经过有限次四则运算和复合步骤所构成的多元函数,

　称为多元初等函数.由基本初等函数的连续性及连续函数的运算法则可知:

　 多元初等函数在其有定义的区域内是连续的.多元初等函数多元初等函数

　有界闭区域上连续函数的性质有界闭区域上连续函数的性质一元连续函数在闭区间上的性质,

　 推广到多元函数中应是连续函数在有界闭区域上的性质.在空间) 2( nRn中,

　闭区域不一定有界.在一维空间中,

　闭区间一定是有界的.

　性质1 (最大、 最小值定理)性质性质1 (1 (最大、 最小值定理最大、 最小值定理) )

　. 为有界闭区域设nR使

　则若, X 

　),()( f2, 1XCX

　 ,

　)(maxX )(1XfXf

　 .

　)(minX )(2XfXf

　推 论 )()(

　,

　 CXfRn为有界闭区域.

　 内有界

　在 )( fX

　设nR为有界闭区域.

　任意一个值,

　至少存在一点0X使得.)(0Xf, )()( CXf且)(Xf在  上取两个若函数值  与, )(则对于 与  间的性质2 (介质值定理)性质性质2 (2 (介质值定理介质值定理) )

　从定理可看出：)(maxX Xf)(minXXf则至少存在一点0X使得.)(0Xf若取由连续性由连续性

　根存在定理能否由介值定理...

篇四：湖南大学数学研究生参考书目

　温馨提示提示：本套资料经过精心编排，前 2 页是封面和提示部分，后面是资料试题部分。资料涵盖了考试的重点知识和题型，可以很好的帮助你复习备考。资料不在多而在精，一套系统的涵盖考试重点的资料，能够帮助你很好的提高成绩，减轻学习负担，再加上自己勤奋练习，肯定能取得理想的成绩。寄语：无论你是考研、期末考试还是准备其他考试，既然决定了，就要坚持到底，花几个月的时间，精心准备，在加上资料的帮助，必然会得到回报。1.一份合理科学的学习计划是你备考的领航灯。要有总体的时间规划，也要有精细到每天的计划，不打无准备的仗。2.资料需要反复练习，任何一件看似轻而易举的事情，都是经过反复刻意练习的结果。公众号:第七代师兄,学习也是一样的，手里的资料，一定要反复练习几遍，才能孰能生巧，融汇贯通，考场上才能轻松应对。3.态度决定一切，不要手稿眼底，从最基础的知识学起，基础扎实了，才能平底起高楼，才能将各类知识点运用自如。4.坚持到底，无论是考试还是做事情，很多人打败自己的永远是自己。切记心浮气躁，半途而废。5.希望这套资料能够很好的帮助你复习备考，祝学习进步，加油。第2页

　目 录1 湖南大学 2007 年研究生入学考试试题数学分析 52 湖南大学 2008 年研究生入学考试试题数学分析 63 湖南大学 2009 年研究生入学考试试题数学分析 74 湖南大学 2010 年研究生入学考试试题数学分析 85 湖南大学 2011 年研究生入学考试试题数学分析 96 湖南大学 2012 年研究生入学考试试题数学分析 107 湖南大学 2013 年研究生入学考试试题数学分析 118 湖南大学 2014 年研究生入学考试试题数学分析 129 湖南大学 2015 年研究生入学考试试题数学分析 1310 湖南大学 2016 年研究生入学考试试题数学分析 1411 湖南大学 2017 年研究生入学考试试题数学分析 1612 湖南大学 2007 年研究生入学考试试题高等代数 1813 湖南大学 2008 年研究生入学考试试题高等代数 2014 湖南大学 2009 年研究生入学考试试题高等代数 2215 湖南大学 2011 年研究生入学考试试题高等代数 2416 湖南大学 2012 年研究生入学考试试题高等代数 2617 湖南大学 2013 年研究生入学考试试题高等代数 2818 湖南大学 2014 年研究生入学考试试题高等代数 3019 湖南大学 2015 年研究生入学考试试题高等代数 3120 湖南大学 2017 年研究生入学考试试题高等代数 334

　1. 2007年湖南大学 《数学分析》研究生入学考试试题1. ( 18 分) 计算(1) limnÑ8nÿk“1k 2n 3 ` 2n ` k;(2) limnÑ8lnnd2ˆ2 `2n˙ˆ2 `4n˙¨¨¨ˆ2 `2 p n ´ 1 qn˙.2. ( 16 分) 设 x 1 “ 1,2x n`1 “ x n `cx 2n `1n pp p ą 1 q , n “ 1,2, ¨¨¨ , 证明: 数列 t x n u 收敛.3. ( 16 分) 设 f p x q 在 r a,b s 上连续, 在 p a,b q 内可导, 且 b ą a ą 0, 证明: 存在 ξ, η P p a,b q 使得f 1 p ξ q “a 2 ` ab ` b 23ηf 1 p η q .4. ( 16 分) 确定下面函数的连续区间g p y q “ż`80ln p 1 ` x 2 qx ydx.5. ( 16 分) 设 f n p x q 在 r a,b s 上连续 p n “ 1,2, ¨¨¨q , 且 t f n p x qu 在开区间 p a,b q 内一致收敛于 f p x q . 证明t f n p x qu 在闭区间 r a,b s 上一致收敛.6. ( 18 分) 设 f p t q 是 r 0,1 s 上的连续函数, 令F p x,y q “ż10f p t q| x ` y ´ 1 | dt.其中 x,y 满足 x 2 ` y 2 ď 1, 求二阶偏导数 F xx 和 F yy .7. ( 16 分) 求函数f p x q “ arctan2x2 ´ x 2`14ln | x 2 ´ 2x ` 2 | ´14ln | x 2 ` 2x ` 2 | ´12arctan p x ´ 1 q ´12arctan p x ` 1 q ,关于 x 的幂级数展开式和收敛半径.8. ( 16 分) 计算积分I “ijDp x ` y qp ln p x ` y q ´ lny q? 2´ x ´ ydxdy,其中区域 D 为 x “ 0,x ` y “ 1,y “ x 所围成的三角形区域.9. ( 16 分) 设 f p x,y q 在区域 C : | x ´ 1 | ď 2, | y ´ 1 | ď 2 上具有二阶连续偏导数, f p 1,1 q “ 0, 且在点 p 1,1 q达到极值, 又设ˇB 2 f p x,y qB x l B y 2´lˇď M, p x,y q P G,其中 0 ď l ď 2, 取区域 D : 0 ď x ď 1,0 ď y ď 1, 试证:I “żDf p x,y q dxdy ď712 M.5

　2.1. ( 16 分) 设实数列 t x n u 满足 x n ´ x n´2 Ñ 0 p n Ñ 8q . 证明:limnÑ8x n ´ x n´1n“ 0.2. ( 16 分) 设函数 f p x q 在 p 0,1 q 内有定义, 且有 e x f p x q 和 e ´fpxq 为 p 0,1 q 内的单调递增函数. 证明 f p x q在 p 0,1 q 内连续.3. ( 16 分) 设函数 f p x q 在 r 0,1 s 上可微, 且令sup0ăxă1| f 1 p x q| “ C ă 8 ,证明, 对任何正整数 n, 有ˇn´1ÿj“0f`jn˘n´ż10f p x q dxˇďC2n .4. ( 16 分) 计算积分I “ijDsiny cosyydxdy,其中 D 是由直线 y “ x 与抛物线 x “ y 2 所围成的区域.5. ( 16 分) 证明ijSf p ax ` by ` cz q dxdy “ 2ż1´1? 1´ u 2 f p u ? a 2 ` b 2 ` c q du.其中 S : x 2 ` y 2 ď 1, a 2 ` b 2 ‰ 0.6. ( 16 分) 求 g 1 p α q , 设g p α q “ż`81arctanαxx 2 ? x 2 ´ 1dx.7. ( 22 分) 设函数列 f n p x q “ n α xe ´nx , 当参数 α 取什么值时, 有(1) 函数列在闭区间 r 0,1 s 上一致收敛;(2) limnÑ8ż10f n p x q dx 可以积分号下去极限.8. ( 16 分) 证明恒等式ż10dxx x“8ÿn“11n n.9. ( 16 分) 设 p p x q 为实系数多项式, 证明limnÑ8 p n` 1 qż10x n p p x q dx “ p p 1 q ,如果 f p x q 为区间[0,1] 上的连续函数, 关于下式limnÑ8 p n` 1 qż10x n f p x q dx,你能得到一个什么结论, 并证明你的结论.62008年湖南大学 《数学分析》研究生入学考试试题

　3.1. ( 16 分) 求极限limnÑ8nźk“2k 3 ´ 1k 3 ` 1 .2. ( 16 分) 设 f 在 r a,b s 上连续, 若对开区间 p a,b q 中的任一点均非 f 的极值点, 则 f 在 r a,b s 上单调.3. ( 16 分) 已知 f p x q 在 r 0,1 s 上连续, 并且有ż10f p x q dx “ 0,ż10xf p x q dx “ 1.证明: 存在 ξ P r 0,1 s , 使得 | f p ξ q| ą 4.4. ( 16 分) 设函数 f p x q 在 p´8 , `8q 上无限次可微, 且满足:1) 存在 M ą 0, 使得 | f pkq p x q| ď M, x P p´8 , `8q , k “ 1,2, ¨¨¨ ;2) fˆ12 k˙“ 0, n “ 1,2, ¨¨¨ .证明: f p x q 在 p´8 , `8q 上恒为零.5. ( 16 分) 计算积分ż`801x 4 ` 1 dx.6. ( 16 分) 积分ż`81f p x q dx 收敛, 且 f p x q 在 r 1, `8q 上单调递减, 试证:limxÑ`8xf p x q “ 0.7. ( 22 分) 设二元函数f p x,y q “$’&amp;’%p x 2 ` y 2 q cos1? x 2` y 2, x 2 ` y 2 ‰ 0;0, x 2 ` y 2 “ 0.1. 求 f 1x p 0,0 q , f1y p 0,0 q ;2. 证明: f 1x p 0,0 q , f1y p 0,0 q 在 p 0,0 q 点不连续;3. 证明: f p x,y q 在 p 0,0 q 点可微.8. ( 16 分) 求积分ijΣy 2 zdxdy ` xzdydz ` x 2 ydxdz.其中 Σ 是 z “ x 2 ` y 2 ,x 2 ` y 2 “ 1 和坐标面在第一卦限所围成曲面的外侧.9. ( 16 分) 记空间区域 V t “ tp x,y,z q| 0 ď x ď t,0 ď y ď t,0 ď z ď t u , 设F p t q “¡V tf p xyz q dxdydz,其中 f p u q 有一阶连续导数, 求 F1 p t q .72009年湖南大学 《数学分析》研究生入学考试试题

　4.1. ( 16 分) 设正项级数8ÿn“1a n 收敛, 数列 t y n u : y 1 “ 1,2y n`1 “ y n `ay 2n ` a n ,p n “ 1,2, ¨¨¨q . 证明:t y n u 是递增的收敛数列.2. ( 22 分) 假设函数 f p x q : r 0,1 s Ñ R 有连续导数, 并且ż10f p x q dx “ 0, 证明: 对于 @ α P p 0,1 q , 有ˇżα0f p x q dxˇď18max0ďxď1| f 1 p x q| .3. ( 16 分) 计算积分ż π20cos2nxlncosxdx.4. ( 16 分) 计算f p y q “ż`80e ´x2cos p 2xy q dx, ´8 ă y ă `8 .5. ( 16 分) 设 u p x,y q 的所有二阶偏导数都连续, 并且B 2 uB x 2´B 2 uB y 2“ 0,现若已知u p x,2x q “ x, u 1 x p x,2x q “ x 2 ,试求 u xx p x,2x q , u yy p x,2x q .6. ( 16 分) 计算线积分¿Crp x ` 1 q 2 ` p y ´ 2 q 2 s dS,其中 C 表示曲面 x 2 ` y 2 ` z 2 “ 1 与 x ` y ` z “ 0 的交线.7. ( 16 分) 设 f p x q 为 r 1,2 s 上的连续正值函数, 令 M n “ż21x n f p x q dx, n “ 1,2, ¨¨¨ , 证明: 幂级数8ÿn“1t nM n的收敛半径 r 满足12ď1rď 1.8. ( 16 分) 设 f p x q “ p arctanx q 2 , 求 f pnq p 0 q .9. ( 16 分) 计算三重积分¡x 2 `y 2 `z 2 ď1,x 2 `y 2 ´z 2 ě 12zdxdydz.82010年湖南大学 《数学分析》研究生入学考试试题

　5.1. ( 16 分) x n P p 0,1 q ,x 0 “ p,x n`1 “ p ` εsinx n , p n “ 0,1,2, ¨¨¨q , 证明: η “ limnÑ8x n 存在, 且 η 为方程xsinx “ p 的唯一根.2. ( 22 分) f p x q 在 r 0,1 s 上连续, f p 1 q “ 0, 证明:(1) t x n u 在 r 0,1 s 上不一致收敛;(2) t f p x q x n u 在 r 0,1 s 上一致收敛.3. ( 16 分) 已知8ÿn“11n 2“π 26, 求ż`80ln p 1 ` e ´x q dx.4. ( 16 分) 函数 f p x q , g p x q 在 r a,b s 上黎曼可积,żbag p x q dx “ 1,g p x q ě 0, 且 ϕ 2 p x q ě 0, 证明:ϕˆżbag p x q f p x q dx˙ďżbag p x q ϕ p f p x qq dx.5. ( 16 分) 求f p y q “ż`801 ´ e ´xyxe 2xdx, y ą ´ 2.6. ( 16 分) 函数 f p ξ,η q 的所有二阶偏导数都连续, 并且满足拉普拉斯方程B 2 fB ξ 2`B 2 fB η 2“ 0,证明函数 z “ f p x 2 ´ y 2 ,2xy q 也满足拉普拉斯方程B 2 zB x 2`B 2 zB y 2“ 0.7. ( 16 分) 计算曲面积分ijSp 6x 2 ` 4yx 2 ` z q ds, S 为单位球面 x 2 ` y 2 ` z 2 “ 1.8. ( 16 分) 设 f p x q 在 r 0,1 s 上黎曼可积, 在 x “ 1 可导, f p 1 q “ 0, f 1 p 1 q “ a, 证明:limnÑ8n 2ż10x n f p x q dx “ ´ a.9. ( 16 分) 已知 a ď b ď c, 且 x P r 0,a s , y P r 0,b s , z P r 0,c s , 又设 f p x,y,z q “ min p x,y,z q , 计算ża0żb0żc0f p x,y,z q dzdydx.92011年湖南大学 《数学分析》研究生入学考试试题

　6.1. ( 16 分) 求下列极限:(1) limnÑ8 p n! q1n 2 ;(2) limxÑ01x 4r ln p 1 ` sin 2 x q ´ 6 p3? 2´ cosx ´ 1 qs .2. ( 22 分) 设 f p x q 在 r a,b s 上连续, 对于 @ x P r a,b s , 存在 y P r a,b s , 使得| f p y q| ď L | f p x q| , 0 ă L ă 1.证明: 至少存在一点 ξ P r a,b s , 使得 f p ξ q “ 0.3. ( 18 分) 设 f p x q 在每个有限区间 r a,b s 上可积, 且 limxÑ`8f p x q “ L, limxÑ´8f p x q “ M 存在, 证明: 对任何一个实数 r ą 0, 反常积分ż`8´8r f p x ` r q ´ f p x qs dx,存在, 并求其值.4. ( 16 分) 研究数列的敛散性:x n “nÿk“1k ´23 ´ 3n13 .5. ( 16 分) 设 f 为可微函数, u “ f p x 2 ` y 2 ` z 2 q , 且 x,y,z 满足方程 3x ` 2y 2 ` z 3 “ 6xyz p˚q , 试对于以下两种情况, 分别求出B uB x在点 P p 1,1,1 q 处的值.(1) 由方程 p˚q 确定的隐函数 z “ z p x,y q ;(2) 由方程 p˚q 确定的隐函数 y “ y p x,z q .6. ( 18 分) 设 f p x,y q “ sgn p x ´ y q , 证明: 含参量积分 F p y q “ż10f p x,y q dx 在 p´8 , `8q 上连续.7. ( 16 分) 设区域 D 为 x 2 ` y 2 ď 1, 证明:59231 πďijDap x 2 ` y 2 q 3 sin p x 2 ` y 2 q dxdy ď27 π.8. ( 16 分) 计算曲面积分ijD| xyz | ds, 其中 S 为曲面 z “ x 2 ` y 2 被平面 z “ 1 所割下的部分.9. ( 16 分) 对于三角形 4ABC, 求 18sinA ` 4sinB ` 3sinC 的最大值.102012年湖南大学 《数学分析》研究生入学考试试题

　7.1. ( 16 分) 设 f p 1 q “ 2ż 120e 1´x2 f p x q dx, 证明: 存在 ξP p 0,1 q , 使得 f 1 p ξ q “ 2ξf p ξ q .2. ( 16 分) 函数 f p x q 满足| f 1 p x q| ď r ă 1, ´8 ă x ă `8 .设 x n`1 “ f p x n q , 证明: 极限 limnÑ8x n 存在.3. ( 16 分) 展开下面函数为 x 的幂级数, 并确定收敛域:f p x q “´ 1p 1 ´ x q 2` xln p ? 1 ` x 2 ´ x q .4. ( 20 分) 证明:(1)żkπ1| sinx |xdx ą2πlnk ` 12;(2)ż`80sinxxdx 收敛但非绝对收敛.5. ( 16 分) 设 S p x q “8ÿn“1a n x n , 其中 a 1 “ a 2 “ 1, a n “ a n´1 ` a n´2 , p n ą 2 q , 求和函数 S p x q 及其收敛半径.6. ( 18 分) 已知u p x,t q “12ż10dηżx`1`ηx´1`ηf p ξ,η q dξ,且有 f p ξ,η q ,f ξ p ξ,η q 连续, 试求B 2 uB t 2´B 2 uB x 2.7. ( 16 分) 设函数 f p x,y q , f y p x,y q 在 p x 0 ,y 0 q 的邻域内连续, 证明: 在 x “ x 0 的某邻域内, 由方程y “ y 0 `żxx 0f p ξ,y q dξ 可以确定某个可导函数 y “ y p x q , 并求 y 1 p x q .8. ( 16 分) 证明不等式e y ` xlnx ´ x ´ xy ě 0, p x ě 1, y ě 0 q .9. ( 16 分) 计算 I “żLy 2 dx ` z 2 dy ` x 2 dz, 其中L :$&amp;%x 2 ` y 2 ` z 2 “ R 2 ;x 2 ` y 2 “ Rx,R ą 0, z ě 0取逆时针方向为正向.112013年湖南大学 《数学分析》研究生入学考试试题

　8.1. ( 15 分) 用极限定义证明若 limnÑ8a n “ a, 则limnÑ8a 1 ` a 2 `...

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